Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3753 / 1924
↖ ↑ ↗
← N 68.592486°
W 15.073242°		 ← 1 783.59 m → N 68.592486°
W 15.029297°		 →
↑
1 784.20 m
↓
↑
1 784.20 m
↓
N 68.576441°
W 15.073242°		 ← 1 784.86 m →
3 183 411 m²		 N 68.576441°
W 15.029297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45819091796875 y=0.23492431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45819091796875 × 213)
    floor (0.45819091796875 × 8192)
    floor (3753.5)     		tx = 3753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23492431640625 × 213)
    floor (0.23492431640625 × 8192)
    floor (1924.5)     		ty = 1924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3753 / 1924 ti = "13/3753/1924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3753/1924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3753 ÷ 213
    3753 ÷ 8192     		x = 0.4581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1924 ÷ 213
    1924 ÷ 8192     		y = 0.23486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.083740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26307771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23486328125 × 2 - 1) × π
    0.5302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66590313559619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26307771} λ = -0.26307771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66590313559619))-π/2
    2×atan(5.29044908571156)-π/2
    2×1.38398052988635-π/2
    2.76796105977269-1.57079632675     		φ = 1.19716473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26307771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.073242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19716473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.592486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3753 KachelY 1924 -0.26307771 1.19716473 -15.073242 68.592486
    Oben rechts KachelX + 1 3754 KachelY 1924 -0.26231071 1.19716473 -15.029297 68.592486
    Unten links KachelX 3753 KachelY + 1 1925 -0.26307771 1.19688468 -15.073242 68.576441
    Unten rechts KachelX + 1 3754 KachelY + 1 1925 -0.26231071 1.19688468 -15.029297 68.576441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19716473-1.19688468) × R
    0.000280049999999976 × 6371000     		dl = 1784.19854999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19716473-1.19688468) × R
    0.000280049999999976 × 6371000     		dr = 1784.19854999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26307771--0.26231071) × cos(1.19716473) × R
    0.000767000000000018 × 0.364998876943627 × 6371000     		do = 1783.58781712106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26307771--0.26231071) × cos(1.19688468) × R
    0.000767000000000018 × 0.365259591406087 × 6371000     		du = 1784.86181320259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19716473)-sin(1.19688468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364998876943627-0.365259591406087)×R²
    abs(-0.26231071--0.26307771)×0.000260714462459843×R²
    0.000767000000000018×0.000260714462459843×6371000²
    0.000767000000000018×0.000260714462459843×40589641000000     		ar = 3183411.34889107m²