Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37527 / 27832
↖ ↑ ↗
← N 26.155438°
E 26.141968°		 ← 548.24 m → N 26.155438°
E 26.147461°		 →
↑
548.29 m
↓
↑
548.29 m
↓
N 26.150507°
E 26.141968°		 ← 548.27 m →
300 602 m²		 N 26.150507°
E 26.147461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572624206542969 y=0.424690246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572624206542969 × 216)
    floor (0.572624206542969 × 65536)
    floor (37527.5)     		tx = 37527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424690246582031 × 216)
    floor (0.424690246582031 × 65536)
    floor (27832.5)     		ty = 27832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37527 / 27832 ti = "16/37527/27832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37527/27832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37527 ÷ 216
    37527 ÷ 65536     		x = 0.572616577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27832 ÷ 216
    27832 ÷ 65536     		y = 0.4246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572616577148438 × 2 - 1) × π
    0.145233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45626341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4246826171875 × 2 - 1) × π
    0.150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.473233073049194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45626341} λ = 0.45626341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473233073049194))-π/2
    2×atan(1.60517546252018)-π/2
    2×1.01364741831897-π/2
    2.02729483663794-1.57079632675     		φ = 0.45649851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45626341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.141968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45649851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.155438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37527 KachelY 27832 0.45626341 0.45649851 26.141968 26.155438
    Oben rechts KachelX + 1 37528 KachelY 27832 0.45635928 0.45649851 26.147461 26.155438
    Unten links KachelX 37527 KachelY + 1 27833 0.45626341 0.45641245 26.141968 26.150507
    Unten rechts KachelX + 1 37528 KachelY + 1 27833 0.45635928 0.45641245 26.147461 26.150507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45649851-0.45641245) × R
    8.60599999999989e-05 × 6371000     		dl = 548.288259999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45649851-0.45641245) × R
    8.60599999999989e-05 × 6371000     		dr = 548.288259999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45626341-0.45635928) × cos(0.45649851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89760148121631 × 6371000     		do = 548.244007060795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45626341-0.45635928) × cos(0.45641245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897639413817852 × 6371000     		du = 548.267175829901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45649851)-sin(0.45641245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89760148121631-0.897639413817852)×R²
    abs(0.45635928-0.45626341)×3.79326015419457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79326015419457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79326015419457e-05×40589641000000     		ar = 300602.104454463m²