Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37527 / 27507
↖ ↑ ↗
← N 27.746746°
E 26.141968°		 ← 540.56 m → N 27.746746°
E 26.147461°		 →
↑
540.58 m
↓
↑
540.58 m
↓
N 27.741885°
E 26.141968°		 ← 540.58 m →
292 220 m²		 N 27.741885°
E 26.147461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572624206542969 y=0.419731140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572624206542969 × 216)
    floor (0.572624206542969 × 65536)
    floor (37527.5)     		tx = 37527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419731140136719 × 216)
    floor (0.419731140136719 × 65536)
    floor (27507.5)     		ty = 27507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37527 / 27507 ti = "16/37527/27507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37527/27507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37527 ÷ 216
    37527 ÷ 65536     		x = 0.572616577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27507 ÷ 216
    27507 ÷ 65536     		y = 0.419723510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572616577148438 × 2 - 1) × π
    0.145233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45626341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419723510742188 × 2 - 1) × π
    0.160552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.504392057802231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45626341} λ = 0.45626341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504392057802231))-π/2
    2×atan(1.65597847518555)-π/2
    2×1.02753420294169-π/2
    2.05506840588337-1.57079632675     		φ = 0.48427208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45626341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.141968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48427208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.746746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37527 KachelY 27507 0.45626341 0.48427208 26.141968 27.746746
    Oben rechts KachelX + 1 37528 KachelY 27507 0.45635928 0.48427208 26.147461 27.746746
    Unten links KachelX 37527 KachelY + 1 27508 0.45626341 0.48418723 26.141968 27.741885
    Unten rechts KachelX + 1 37528 KachelY + 1 27508 0.45635928 0.48418723 26.147461 27.741885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48427208-0.48418723) × R
    8.48499999999697e-05 × 6371000     		dl = 540.579349999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48427208-0.48418723) × R
    8.48499999999697e-05 × 6371000     		dr = 540.579349999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45626341-0.45635928) × cos(0.48427208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885014077087315 × 6371000     		do = 540.555774562758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45626341-0.45635928) × cos(0.48418723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885053577029178 × 6371000     		du = 540.579900644163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48427208)-sin(0.48418723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885014077087315-0.885053577029178)×R²
    abs(0.45635928-0.45626341)×3.94999418629194e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94999418629194e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94999418629194e-05×40589641000000     		ar = 292219.810457838m²