Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37525 / 27716
↖ ↑ ↗
← N 26.725987°
E 26.130981°		 ← 545.59 m → N 26.725987°
E 26.136475°		 →
↑
545.61 m
↓
↑
545.61 m
↓
N 26.721080°
E 26.130981°		 ← 545.62 m →
297 689 m²		 N 26.721080°
E 26.136475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572593688964844 y=0.422920227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572593688964844 × 216)
    floor (0.572593688964844 × 65536)
    floor (37525.5)     		tx = 37525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422920227050781 × 216)
    floor (0.422920227050781 × 65536)
    floor (27716.5)     		ty = 27716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37525 / 27716 ti = "16/37525/27716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37525/27716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37525 ÷ 216
    37525 ÷ 65536     		x = 0.572586059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27716 ÷ 216
    27716 ÷ 65536     		y = 0.42291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572586059570312 × 2 - 1) × π
    0.145172119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45607166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42291259765625 × 2 - 1) × π
    0.1541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.484354433761047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45607166} λ = 0.45607166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484354433761047))-π/2
    2×atan(1.6231268346617)-π/2
    2×1.01862639625063-π/2
    2.03725279250126-1.57079632675     		φ = 0.46645647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45607166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.130981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46645647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.725987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37525 KachelY 27716 0.45607166 0.46645647 26.130981 26.725987
    Oben rechts KachelX + 1 37526 KachelY 27716 0.45616754 0.46645647 26.136475 26.725987
    Unten links KachelX 37525 KachelY + 1 27717 0.45607166 0.46637083 26.130981 26.721080
    Unten rechts KachelX + 1 37526 KachelY + 1 27717 0.45616754 0.46637083 26.136475 26.721080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46645647-0.46637083) × R
    8.56399999999979e-05 × 6371000     		dl = 545.612439999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46645647-0.46637083) × R
    8.56399999999979e-05 × 6371000     		dr = 545.612439999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45607166-0.45616754) × cos(0.46645647) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89316750344616 × 6371000     		do = 545.59269136795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45607166-0.45616754) × cos(0.46637083) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.893206014546951 × 6371000     		du = 545.616215930865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46645647)-sin(0.46637083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89316750344616-0.893206014546951)×R²
    abs(0.45616754-0.45607166)×3.85111007910055e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85111007910055e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85111007910055e-05×40589641000000     		ar = 297688.577412403m²