Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37523 / 27719
↖ ↑ ↗
← N 26.711267°
E 26.119995°		 ← 545.61 m → N 26.711267°
E 26.125488°		 →
↑
545.68 m
↓
↑
545.68 m
↓
N 26.706360°
E 26.119995°		 ← 545.63 m →
297 731 m²		 N 26.706360°
E 26.125488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572563171386719 y=0.422966003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572563171386719 × 216)
    floor (0.572563171386719 × 65536)
    floor (37523.5)     		tx = 37523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422966003417969 × 216)
    floor (0.422966003417969 × 65536)
    floor (27719.5)     		ty = 27719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37523 / 27719 ti = "16/37523/27719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37523/27719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37523 ÷ 216
    37523 ÷ 65536     		x = 0.572555541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27719 ÷ 216
    27719 ÷ 65536     		y = 0.422958374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572555541992188 × 2 - 1) × π
    0.145111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45587992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422958374023438 × 2 - 1) × π
    0.154083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.484066812363327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45587992} λ = 0.45587992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484066812363327))-π/2
    2×atan(1.62266005578386)-π/2
    2×1.01849794090121-π/2
    2.03699588180241-1.57079632675     		φ = 0.46619956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45587992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.119995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46619956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.711267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37523 KachelY 27719 0.45587992 0.46619956 26.119995 26.711267
    Oben rechts KachelX + 1 37524 KachelY 27719 0.45597579 0.46619956 26.125488 26.711267
    Unten links KachelX 37523 KachelY + 1 27720 0.45587992 0.46611391 26.119995 26.706360
    Unten rechts KachelX + 1 37524 KachelY + 1 27720 0.45597579 0.46611391 26.125488 26.706360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46619956-0.46611391) × R
    8.56499999999927e-05 × 6371000     		dl = 545.676149999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46619956-0.46611391) × R
    8.56499999999927e-05 × 6371000     		dr = 545.676149999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45587992-0.45597579) × cos(0.46619956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893283012600423 × 6371000     		do = 545.606339245082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45587992-0.45597579) × cos(0.46611391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893321508542434 × 6371000     		du = 545.629852095657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46619956)-sin(0.46611391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893283012600423-0.893321508542434)×R²
    abs(0.45597579-0.45587992)×3.84959420102193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84959420102193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84959420102193e-05×40589641000000     		ar = 297730.78199772m²