Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37523 / 27714
↖ ↑ ↗
← N 26.735799°
E 26.119995°		 ← 545.49 m → N 26.735799°
E 26.125488°		 →
↑
545.49 m
↓
↑
545.49 m
↓
N 26.730893°
E 26.119995°		 ← 545.51 m →
297 562 m²		 N 26.730893°
E 26.125488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572563171386719 y=0.422889709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572563171386719 × 216)
    floor (0.572563171386719 × 65536)
    floor (37523.5)     		tx = 37523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422889709472656 × 216)
    floor (0.422889709472656 × 65536)
    floor (27714.5)     		ty = 27714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37523 / 27714 ti = "16/37523/27714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37523/27714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37523 ÷ 216
    37523 ÷ 65536     		x = 0.572555541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27714 ÷ 216
    27714 ÷ 65536     		y = 0.422882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572555541992188 × 2 - 1) × π
    0.145111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45587992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422882080078125 × 2 - 1) × π
    0.15423583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.484546181359528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45587992} λ = 0.45587992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484546181359528))-π/2
    2×atan(1.62343809517505)-π/2
    2×1.01871202392027-π/2
    2.03742404784054-1.57079632675     		φ = 0.46662772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45587992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.119995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46662772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.735799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37523 KachelY 27714 0.45587992 0.46662772 26.119995 26.735799
    Oben rechts KachelX + 1 37524 KachelY 27714 0.45597579 0.46662772 26.125488 26.735799
    Unten links KachelX 37523 KachelY + 1 27715 0.45587992 0.46654210 26.119995 26.730893
    Unten rechts KachelX + 1 37524 KachelY + 1 27715 0.45597579 0.46654210 26.125488 26.730893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46662772-0.46654210) × R
    8.56200000000085e-05 × 6371000     		dl = 545.485020000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46662772-0.46654210) × R
    8.56200000000085e-05 × 6371000     		dr = 545.485020000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45587992-0.45597579) × cos(0.46662772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893090475089141 × 6371000     		do = 545.488739687925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45587992-0.45597579) × cos(0.46654210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893128990292697 × 6371000     		du = 545.512264303216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46662772)-sin(0.46654210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893090475089141-0.893128990292697)×R²
    abs(0.45597579-0.45587992)×3.85152035567993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85152035567993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85152035567993e-05×40589641000000     		ar = 297562.352422853m²