Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37520 / 27537
↖ ↑ ↗
← N 27.600803°
E 26.103515°		 ← 541.33 m → N 27.600803°
E 26.109009°		 →
↑
541.34 m
↓
↑
541.34 m
↓
N 27.595935°
E 26.103515°		 ← 541.36 m →
293 055 m²		 N 27.595935°
E 26.109009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572517395019531 y=0.420188903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572517395019531 × 216)
    floor (0.572517395019531 × 65536)
    floor (37520.5)     		tx = 37520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420188903808594 × 216)
    floor (0.420188903808594 × 65536)
    floor (27537.5)     		ty = 27537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37520 / 27537 ti = "16/37520/27537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37520/27537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37520 ÷ 216
    37520 ÷ 65536     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27537 ÷ 216
    27537 ÷ 65536     		y = 0.420181274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420181274414062 × 2 - 1) × π
    0.159637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.501515843825027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501515843825027))-π/2
    2×atan(1.65122236981642)-π/2
    2×1.02626060686562-π/2
    2.05252121373124-1.57079632675     		φ = 0.48172489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48172489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.600803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37520 KachelY 27537 0.45559229 0.48172489 26.103515 27.600803
    Oben rechts KachelX + 1 37521 KachelY 27537 0.45568817 0.48172489 26.109009 27.600803
    Unten links KachelX 37520 KachelY + 1 27538 0.45559229 0.48163992 26.103515 27.595935
    Unten rechts KachelX + 1 37521 KachelY + 1 27538 0.45568817 0.48163992 26.109009 27.595935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48172489-0.48163992) × R
    8.49700000000175e-05 × 6371000     		dl = 541.343870000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48172489-0.48163992) × R
    8.49700000000175e-05 × 6371000     		dr = 541.343870000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45568817) × cos(0.48172489) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.886197085378653 × 6371000     		do = 541.334801175195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45568817) × cos(0.48163992) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.886236449499027 × 6371000     		du = 541.358846806384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48172489)-sin(0.48163992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886197085378653-0.886236449499027)×R²
    abs(0.45568817-0.45559229)×3.93641203740858e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.93641203740858e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.93641203740858e-05×40589641000000     		ar = 293054.784887675m²