Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3752 / 3727
↖ ↑ ↗
← S 81.295029°
E149.765625°		 ← 1 479.11 m → S 81.295029°
E149.853515°		 →
↑
1 478.01 m
↓
↑
1 478.01 m
↓
S 81.308321°
E149.765625°		 ← 1 476.87 m →
2 184 478 m²		 S 81.308321°
E149.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9161376953125 y=0.9100341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9161376953125 × 212)
    floor (0.9161376953125 × 4096)
    floor (3752.5)     		tx = 3752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9100341796875 × 212)
    floor (0.9100341796875 × 4096)
    floor (3727.5)     		ty = 3727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3752 / 3727 ti = "12/3752/3727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3752/3727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3752 ÷ 212
    3752 ÷ 4096     		x = 0.916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3727 ÷ 212
    3727 ÷ 4096     		y = 0.909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916015625 × 2 - 1) × π
    0.83203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61390326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.81982421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57555374278638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61390326} λ = 2.61390326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57555374278638))-π/2
    2×atan(0.07611166484199)-π/2
    2×0.0759652023215346-π/2
    0.151930404643069-1.57079632675     		φ = -1.41886592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61390326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41886592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.295029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3752 KachelY 3727 2.61390326 -1.41886592 149.765625 -81.295029
    Oben rechts KachelX + 1 3753 KachelY 3727 2.61543724 -1.41886592 149.853515 -81.295029
    Unten links KachelX 3752 KachelY + 1 3728 2.61390326 -1.41909791 149.765625 -81.308321
    Unten rechts KachelX + 1 3753 KachelY + 1 3728 2.61543724 -1.41909791 149.853515 -81.308321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41886592--1.41909791) × R
    0.000231990000000071 × 6371000     		dl = 1478.00829000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41886592--1.41909791) × R
    0.000231990000000071 × 6371000     		dr = 1478.00829000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61390326-2.61543724) × cos(-1.41886592) × R
    0.00153398000000005 × 0.151346583257271 × 6371000     		do = 1479.10812710221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61390326-2.61543724) × cos(-1.41909791) × R
    0.00153398000000005 × 0.151117261535263 × 6371000     		du = 1476.86696899052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41886592)-sin(-1.41909791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151346583257271-0.151117261535263)×R²
    abs(2.61543724-2.61390326)×0.000229321722008236×R²
    0.00153398000000005×0.000229321722008236×6371000²
    0.00153398000000005×0.000229321722008236×40589641000000     		ar = 2184477.8583247m²