Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3752 / 1925
↖ ↑ ↗
← N 68.576441°
W 15.117188°		 ← 1 784.84 m → N 68.576441°
W 15.073242°		 →
↑
1 785.47 m
↓
↑
1 785.47 m
↓
N 68.560384°
W 15.117188°		 ← 1 786.11 m →
3 187 919 m²		 N 68.560384°
W 15.073242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45806884765625 y=0.23504638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45806884765625 × 213)
    floor (0.45806884765625 × 8192)
    floor (3752.5)     		tx = 3752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23504638671875 × 213)
    floor (0.23504638671875 × 8192)
    floor (1925.5)     		ty = 1925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3752 / 1925 ti = "13/3752/1925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3752/1925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3752 ÷ 213
    3752 ÷ 8192     		x = 0.4580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1925 ÷ 213
    1925 ÷ 8192     		y = 0.2349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    -0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2349853515625 × 2 - 1) × π
    0.530029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66513614520227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26384470} λ = -0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66513614520227))-π/2
    2×atan(5.28639291780305)-π/2
    2×1.38384050458476-π/2
    2.76768100916952-1.57079632675     		φ = 1.19688468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19688468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.576441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3752 KachelY 1925 -0.26384470 1.19688468 -15.117188 68.576441
    Oben rechts KachelX + 1 3753 KachelY 1925 -0.26307771 1.19688468 -15.073242 68.576441
    Unten links KachelX 3752 KachelY + 1 1926 -0.26384470 1.19660443 -15.117188 68.560384
    Unten rechts KachelX + 1 3753 KachelY + 1 1926 -0.26307771 1.19660443 -15.073242 68.560384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19688468-1.19660443) × R
    0.000280249999999871 × 6371000     		dl = 1785.47274999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19688468-1.19660443) × R
    0.000280249999999871 × 6371000     		dr = 1785.47274999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26384470--0.26307771) × cos(1.19688468) × R
    0.000766989999999967 × 0.365259591406087 × 6371000     		do = 1784.83854251391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26384470--0.26307771) × cos(1.19660443) × R
    0.000766989999999967 × 0.365520463382635 × 6371000     		du = 1786.11329167686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19688468)-sin(1.19660443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365259591406087-0.365520463382635)×R²
    abs(-0.26307771--0.26384470)×0.000260871976547894×R²
    0.000766989999999967×0.000260871976547894×6371000²
    0.000766989999999967×0.000260871976547894×40589641000000     		ar = 3187918.61661828m²