Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37516 / 27820
↖ ↑ ↗
← N 26.214591°
E 26.081543°		 ← 547.97 m → N 26.214591°
E 26.087036°		 →
↑
548.03 m
↓
↑
548.03 m
↓
N 26.209663°
E 26.081543°		 ← 547.99 m →
300 310 m²		 N 26.209663°
E 26.087036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572456359863281 y=0.424507141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572456359863281 × 216)
    floor (0.572456359863281 × 65536)
    floor (37516.5)     		tx = 37516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424507141113281 × 216)
    floor (0.424507141113281 × 65536)
    floor (27820.5)     		ty = 27820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37516 / 27820 ti = "16/37516/27820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37516/27820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37516 ÷ 216
    37516 ÷ 65536     		x = 0.57244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27820 ÷ 216
    27820 ÷ 65536     		y = 0.42449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57244873046875 × 2 - 1) × π
    0.1448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45520880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42449951171875 × 2 - 1) × π
    0.1510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.474383558640076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45520880} λ = 0.45520880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474383558640076))-π/2
    2×atan(1.607023256487)-π/2
    2×1.01416362610585-π/2
    2.02832725221169-1.57079632675     		φ = 0.45753093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45520880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45753093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.214591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37516 KachelY 27820 0.45520880 0.45753093 26.081543 26.214591
    Oben rechts KachelX + 1 37517 KachelY 27820 0.45530467 0.45753093 26.087036 26.214591
    Unten links KachelX 37516 KachelY + 1 27821 0.45520880 0.45744491 26.081543 26.209663
    Unten rechts KachelX + 1 37517 KachelY + 1 27821 0.45530467 0.45744491 26.087036 26.209663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45753093-0.45744491) × R
    8.602000000002e-05 × 6371000     		dl = 548.033420000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45753093-0.45744491) × R
    8.602000000002e-05 × 6371000     		dr = 548.033420000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45520880-0.45530467) × cos(0.45753093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897145904060239 × 6371000     		do = 547.965746105575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45520880-0.45530467) × cos(0.45744491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8971838987289 × 6371000     		du = 547.988952784519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45753093)-sin(0.45744491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897145904060239-0.8971838987289)×R²
    abs(0.45530467-0.45520880)×3.79946686611676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79946686611676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79946686611676e-05×40589641000000     		ar = 300309.901084188m²