Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37515 / 27978
↖ ↑ ↗
← N 25.433354°
E 26.076050°		 ← 551.65 m → N 25.433354°
E 26.081543°		 →
↑
551.66 m
↓
↑
551.66 m
↓
N 25.428392°
E 26.076050°		 ← 551.67 m →
304 333 m²		 N 25.428392°
E 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572441101074219 y=0.426918029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572441101074219 × 216)
    floor (0.572441101074219 × 65536)
    floor (37515.5)     		tx = 37515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426918029785156 × 216)
    floor (0.426918029785156 × 65536)
    floor (27978.5)     		ty = 27978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37515 / 27978 ti = "16/37515/27978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37515/27978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37515 ÷ 216
    37515 ÷ 65536     		x = 0.572433471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27978 ÷ 216
    27978 ÷ 65536     		y = 0.426910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572433471679688 × 2 - 1) × π
    0.144866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45511292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426910400390625 × 2 - 1) × π
    0.14617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.459235498360138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45511292} λ = 0.45511292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459235498360138))-π/2
    2×atan(1.58286342063347)-π/2
    2×1.00734604196105-π/2
    2.0146920839221-1.57079632675     		φ = 0.44389576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45511292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.076050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44389576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.433354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37515 KachelY 27978 0.45511292 0.44389576 26.076050 25.433354
    Oben rechts KachelX + 1 37516 KachelY 27978 0.45520880 0.44389576 26.081543 25.433354
    Unten links KachelX 37515 KachelY + 1 27979 0.45511292 0.44380917 26.076050 25.428392
    Unten rechts KachelX + 1 37516 KachelY + 1 27979 0.45520880 0.44380917 26.081543 25.428392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44389576-0.44380917) × R
    8.65899999999975e-05 × 6371000     		dl = 551.664889999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44389576-0.44380917) × R
    8.65899999999975e-05 × 6371000     		dr = 551.664889999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45511292-0.45520880) × cos(0.44389576) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.903085443811991 × 6371000     		do = 551.651079919289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45511292-0.45520880) × cos(0.44380917) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.903122627447354 × 6371000     		du = 551.673793597982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44389576)-sin(0.44380917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903085443811991-0.903122627447354)×R²
    abs(0.45520880-0.45511292)×3.71836353628696e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.71836353628696e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.71836353628696e-05×40589641000000     		ar = 304332.797681576m²