Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37515 / 27302
↖ ↑ ↗
← N 28.738764°
E 26.076050°		 ← 535.61 m → N 28.738764°
E 26.081543°		 →
↑
535.55 m
↓
↑
535.55 m
↓
N 28.733947°
E 26.076050°		 ← 535.63 m →
286 849 m²		 N 28.733947°
E 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572441101074219 y=0.416603088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572441101074219 × 216)
    floor (0.572441101074219 × 65536)
    floor (37515.5)     		tx = 37515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416603088378906 × 216)
    floor (0.416603088378906 × 65536)
    floor (27302.5)     		ty = 27302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37515 / 27302 ti = "16/37515/27302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37515/27302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37515 ÷ 216
    37515 ÷ 65536     		x = 0.572433471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27302 ÷ 216
    27302 ÷ 65536     		y = 0.416595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572433471679688 × 2 - 1) × π
    0.144866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45511292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416595458984375 × 2 - 1) × π
    0.16680908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.524046186646454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45511292} λ = 0.45511292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524046186646454))-π/2
    2×atan(1.68884723486731)-π/2
    2×1.03619119051785-π/2
    2.0723823810357-1.57079632675     		φ = 0.50158605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45511292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.076050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50158605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.738764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37515 KachelY 27302 0.45511292 0.50158605 26.076050 28.738764
    Oben rechts KachelX + 1 37516 KachelY 27302 0.45520880 0.50158605 26.081543 28.738764
    Unten links KachelX 37515 KachelY + 1 27303 0.45511292 0.50150199 26.076050 28.733947
    Unten rechts KachelX + 1 37516 KachelY + 1 27303 0.45520880 0.50150199 26.081543 28.733947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50158605-0.50150199) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dl = 535.546260000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50158605-0.50150199) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dr = 535.546260000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45511292-0.45520880) × cos(0.50158605) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.876821065530476 × 6371000     		do = 535.607445574737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45511292-0.45520880) × cos(0.50150199) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.876861479894879 × 6371000     		du = 535.632132749046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50158605)-sin(0.50150199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876821065530476-0.876861479894879)×R²
    abs(0.45520880-0.45511292)×4.04143644022747e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.04143644022747e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.04143644022747e-05×40589641000000     		ar = 286849.175036707m²