Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37511 / 28041
↖ ↑ ↗
← N 25.120419°
E 26.054077°		 ← 553.02 m → N 25.120419°
E 26.059570°		 →
↑
553 m
↓
↑
553 m
↓
N 25.115446°
E 26.054077°		 ← 553.04 m →
305 827 m²		 N 25.115446°
E 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572380065917969 y=0.427879333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572380065917969 × 216)
    floor (0.572380065917969 × 65536)
    floor (37511.5)     		tx = 37511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427879333496094 × 216)
    floor (0.427879333496094 × 65536)
    floor (28041.5)     		ty = 28041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37511 / 28041 ti = "16/37511/28041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37511/28041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37511 ÷ 216
    37511 ÷ 65536     		x = 0.572372436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28041 ÷ 216
    28041 ÷ 65536     		y = 0.427871704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572372436523438 × 2 - 1) × π
    0.144744873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45472943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427871704101562 × 2 - 1) × π
    0.144256591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.453195449008011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45472943} λ = 0.45472943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453195449008011))-π/2
    2×atan(1.57333166257797)-π/2
    2×1.00461517482753-π/2
    2.00923034965505-1.57079632675     		φ = 0.43843402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45472943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.054077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43843402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.120419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37511 KachelY 28041 0.45472943 0.43843402 26.054077 25.120419
    Oben rechts KachelX + 1 37512 KachelY 28041 0.45482530 0.43843402 26.059570 25.120419
    Unten links KachelX 37511 KachelY + 1 28042 0.45472943 0.43834722 26.054077 25.115446
    Unten rechts KachelX + 1 37512 KachelY + 1 28042 0.45482530 0.43834722 26.059570 25.115446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43843402-0.43834722) × R
    8.6799999999998e-05 × 6371000     		dl = 553.002799999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43843402-0.43834722) × R
    8.6799999999998e-05 × 6371000     		dr = 553.002799999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45472943-0.45482530) × cos(0.43843402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905417566272828 × 6371000     		do = 553.017976222595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45472943-0.45482530) × cos(0.43834722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905454411382013 × 6371000     		du = 553.04048076467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43843402)-sin(0.43834722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905417566272828-0.905454411382013)×R²
    abs(0.45482530-0.45472943)×3.6845109185335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6845109185335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6845109185335e-05×40589641000000     		ar = 305826.712030949m²