Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37511 / 27783
↖ ↑ ↗
← N 26.396790°
E 26.054077°		 ← 547.11 m → N 26.396790°
E 26.059570°		 →
↑
547.14 m
↓
↑
547.14 m
↓
N 26.391870°
E 26.054077°		 ← 547.13 m →
299 350 m²		 N 26.391870°
E 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572380065917969 y=0.423942565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572380065917969 × 216)
    floor (0.572380065917969 × 65536)
    floor (37511.5)     		tx = 37511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423942565917969 × 216)
    floor (0.423942565917969 × 65536)
    floor (27783.5)     		ty = 27783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37511 / 27783 ti = "16/37511/27783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37511/27783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37511 ÷ 216
    37511 ÷ 65536     		x = 0.572372436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27783 ÷ 216
    27783 ÷ 65536     		y = 0.423934936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572372436523438 × 2 - 1) × π
    0.144744873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45472943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423934936523438 × 2 - 1) × π
    0.152130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.47793088921196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45472943} λ = 0.45472943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47793088921196))-π/2
    2×atan(1.61273402221291)-π/2
    2×1.01575361390995-π/2
    2.03150722781989-1.57079632675     		φ = 0.46071090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45472943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.054077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46071090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.396790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37511 KachelY 27783 0.45472943 0.46071090 26.054077 26.396790
    Oben rechts KachelX + 1 37512 KachelY 27783 0.45482530 0.46071090 26.059570 26.396790
    Unten links KachelX 37511 KachelY + 1 27784 0.45472943 0.46062502 26.054077 26.391870
    Unten rechts KachelX + 1 37512 KachelY + 1 27784 0.45482530 0.46062502 26.059570 26.391870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46071090-0.46062502) × R
    8.58799999999826e-05 × 6371000     		dl = 547.141479999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46071090-0.46062502) × R
    8.58799999999826e-05 × 6371000     		dr = 547.141479999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45472943-0.45482530) × cos(0.46071090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895736668419904 × 6371000     		do = 547.10500221141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45472943-0.45482530) × cos(0.46062502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895774846076327 × 6371000     		du = 547.128320657041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46071090)-sin(0.46062502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895736668419904-0.895774846076327)×R²
    abs(0.45482530-0.45472943)×3.81776564233327e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81776564233327e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81776564233327e-05×40589641000000     		ar = 299350.220053732m²