Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37510 / 28547
↖ ↑ ↗
← N 22.578511°
E 26.048584°		 ← 563.97 m → N 22.578511°
E 26.054077°		 →
↑
564.02 m
↓
↑
564.02 m
↓
N 22.573438°
E 26.048584°		 ← 563.99 m →
318 101 m²		 N 22.573438°
E 26.054077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572364807128906 y=0.435600280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572364807128906 × 216)
    floor (0.572364807128906 × 65536)
    floor (37510.5)     		tx = 37510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435600280761719 × 216)
    floor (0.435600280761719 × 65536)
    floor (28547.5)     		ty = 28547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37510 / 28547 ti = "16/37510/28547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37510/28547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37510 ÷ 216
    37510 ÷ 65536     		x = 0.572357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28547 ÷ 216
    28547 ÷ 65536     		y = 0.435592651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572357177734375 × 2 - 1) × π
    0.14471435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45463356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435592651367188 × 2 - 1) × π
    0.128814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.404683306592514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45463356} λ = 0.45463356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404683306592514))-π/2
    2×atan(1.49882775601729)-π/2
    2×0.982432837554733-π/2
    1.96486567510947-1.57079632675     		φ = 0.39406935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45463356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39406935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.578511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37510 KachelY 28547 0.45463356 0.39406935 26.048584 22.578511
    Oben rechts KachelX + 1 37511 KachelY 28547 0.45472943 0.39406935 26.054077 22.578511
    Unten links KachelX 37510 KachelY + 1 28548 0.45463356 0.39398082 26.048584 22.573438
    Unten rechts KachelX + 1 37511 KachelY + 1 28548 0.45472943 0.39398082 26.054077 22.573438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39406935-0.39398082) × R
    8.85299999999756e-05 × 6371000     		dl = 564.024629999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39406935-0.39398082) × R
    8.85299999999756e-05 × 6371000     		dr = 564.024629999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45463356-0.45472943) × cos(0.39406935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923354286344354 × 6371000     		do = 563.973505476197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45463356-0.45472943) × cos(0.39398082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923388273734003 × 6371000     		du = 563.994264558129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39406935)-sin(0.39398082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923354286344354-0.923388273734003)×R²
    abs(0.45472943-0.45463356)×3.39873896489928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39873896489928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39873896489928e-05×40589641000000     		ar = 318100.8022805m²