Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3751 / 3740
↖ ↑ ↗
← S 81.466261°
E149.677734°		 ← 1 450.23 m → S 81.466261°
E149.765625°		 →
↑
1 449.15 m
↓
↑
1 449.15 m
↓
S 81.479293°
E149.677734°		 ← 1 448.03 m →
2 100 006 m²		 S 81.479293°
E149.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9158935546875 y=0.9132080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9158935546875 × 212)
    floor (0.9158935546875 × 4096)
    floor (3751.5)     		tx = 3751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9132080078125 × 212)
    floor (0.9132080078125 × 4096)
    floor (3740.5)     		ty = 3740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3751 / 3740 ti = "12/3751/3740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3751/3740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3751 ÷ 212
    3751 ÷ 4096     		x = 0.915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3740 ÷ 212
    3740 ÷ 4096     		y = 0.9130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915771484375 × 2 - 1) × π
    0.83154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61236928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    -0.826171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59549549302832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61236928} λ = 2.61236928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59549549302832))-π/2
    2×atan(0.0746088987250138)-π/2
    2×0.0744709227502248-π/2
    0.14894184550045-1.57079632675     		φ = -1.42185448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61236928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42185448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.466261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3751 KachelY 3740 2.61236928 -1.42185448 149.677734 -81.466261
    Oben rechts KachelX + 1 3752 KachelY 3740 2.61390326 -1.42185448 149.765625 -81.466261
    Unten links KachelX 3751 KachelY + 1 3741 2.61236928 -1.42208194 149.677734 -81.479293
    Unten rechts KachelX + 1 3752 KachelY + 1 3741 2.61390326 -1.42208194 149.765625 -81.479293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42185448--1.42208194) × R
    0.000227460000000068 × 6371000     		dl = 1449.14766000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42185448--1.42208194) × R
    0.000227460000000068 × 6371000     		dr = 1449.14766000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61236928-2.61390326) × cos(-1.42185448) × R
    0.00153398000000005 × 0.148391777721568 × 6371000     		do = 1450.23085225527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61236928-2.61390326) × cos(-1.42208194) × R
    0.00153398000000005 × 0.148166832173394 × 6371000     		du = 1448.03246243173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42185448)-sin(-1.42208194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148391777721568-0.148166832173394)×R²
    abs(2.61390326-2.61236928)×0.000224945548174232×R²
    0.00153398000000005×0.000224945548174232×6371000²
    0.00153398000000005×0.000224945548174232×40589641000000     		ar = 2100005.75932377m²