Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3751 / 2726
↖ ↑ ↗
← N 75.984200°
W 97.580566°		 ← 591.74 m → N 75.984200°
W 97.558593°		 →
↑
591.87 m
↓
↑
591.87 m
↓
N 75.978877°
W 97.580566°		 ← 591.96 m →
350 294 m²		 N 75.978877°
W 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228973388671875 y=0.166412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228973388671875 × 214)
    floor (0.228973388671875 × 16384)
    floor (3751.5)     		tx = 3751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166412353515625 × 214)
    floor (0.166412353515625 × 16384)
    floor (2726.5)     		ty = 2726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3751 / 2726 ti = "14/3751/2726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3751/2726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3751 ÷ 214
    3751 ÷ 16384     		x = 0.22894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2726 ÷ 214
    2726 ÷ 16384     		y = 0.1663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.5421142578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70310217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1663818359375 × 2 - 1) × π
    0.667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09618474658582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70310217} λ = -1.70310217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09618474658582))-π/2
    2×atan(8.13507326344692)-π/2
    2×1.44848539818765-π/2
    2.8969707963753-1.57079632675     		φ = 1.32617447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70310217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.580566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32617447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.984200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3751 KachelY 2726 -1.70310217 1.32617447 -97.580566 75.984200
    Oben rechts KachelX + 1 3752 KachelY 2726 -1.70271867 1.32617447 -97.558593 75.984200
    Unten links KachelX 3751 KachelY + 1 2727 -1.70310217 1.32608157 -97.580566 75.978877
    Unten rechts KachelX + 1 3752 KachelY + 1 2727 -1.70271867 1.32608157 -97.558593 75.978877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32617447-1.32608157) × R
    9.29000000000624e-05 × 6371000     		dl = 591.865900000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32617447-1.32608157) × R
    9.29000000000624e-05 × 6371000     		dr = 591.865900000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70310217--1.70271867) × cos(1.32617447) × R
    0.00038349999999987 × 0.242189456618018 × 6371000     		do = 591.736292281286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70310217--1.70271867) × cos(1.32608157) × R
    0.00038349999999987 × 0.242279589844721 × 6371000     		du = 591.956512856224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32617447)-sin(1.32608157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242189456618018-0.242279589844721)×R²
    abs(-1.70271867--1.70310217)×9.01332267027044e-05×R²
    0.00038349999999987×9.01332267027044e-05×6371000²
    0.00038349999999987×9.01332267027044e-05×40589641000000     		ar = 350293.703971046m²