Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37509 / 28296
↖ ↑ ↗
← N 23.845650°
E 26.043091°		 ← 558.71 m → N 23.845650°
E 26.048584°		 →
↑
558.67 m
↓
↑
558.67 m
↓
N 23.840625°
E 26.043091°		 ← 558.73 m →
312 141 m²		 N 23.840625°
E 26.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572349548339844 y=0.431770324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572349548339844 × 216)
    floor (0.572349548339844 × 65536)
    floor (37509.5)     		tx = 37509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431770324707031 × 216)
    floor (0.431770324707031 × 65536)
    floor (28296.5)     		ty = 28296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37509 / 28296 ti = "16/37509/28296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37509/28296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37509 ÷ 216
    37509 ÷ 65536     		x = 0.572341918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28296 ÷ 216
    28296 ÷ 65536     		y = 0.4317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572341918945312 × 2 - 1) × π
    0.144683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45453768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4317626953125 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.428747630201782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45453768} λ = 0.45453768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428747630201782))-π/2
    2×atan(1.5353335136911)-π/2
    2×0.99349071480058-π/2
    1.98698142960116-1.57079632675     		φ = 0.41618510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45453768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.043091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41618510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.845650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37509 KachelY 28296 0.45453768 0.41618510 26.043091 23.845650
    Oben rechts KachelX + 1 37510 KachelY 28296 0.45463356 0.41618510 26.048584 23.845650
    Unten links KachelX 37509 KachelY + 1 28297 0.45453768 0.41609741 26.043091 23.840625
    Unten rechts KachelX + 1 37510 KachelY + 1 28297 0.45463356 0.41609741 26.048584 23.840625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41618510-0.41609741) × R
    8.76899999999736e-05 × 6371000     		dl = 558.672989999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41618510-0.41609741) × R
    8.76899999999736e-05 × 6371000     		dr = 558.672989999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45453768-0.45463356) × cos(0.41618510) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914637857597 × 6371000     		do = 558.707888977114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45453768-0.45463356) × cos(0.41609741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914673304880716 × 6371000     		du = 558.729542002834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41618510)-sin(0.41609741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914637857597-0.914673304880716)×R²
    abs(0.45463356-0.45453768)×3.54472837161834e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.54472837161834e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.54472837161834e-05×40589641000000     		ar = 312141.055551713m²