Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37509 / 27779
↖ ↑ ↗
← N 26.416470°
E 26.043091°		 ← 547.07 m → N 26.416470°
E 26.048584°		 →
↑
547.01 m
↓
↑
547.01 m
↓
N 26.411551°
E 26.043091°		 ← 547.09 m →
299 261 m²		 N 26.411551°
E 26.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572349548339844 y=0.423881530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572349548339844 × 216)
    floor (0.572349548339844 × 65536)
    floor (37509.5)     		tx = 37509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423881530761719 × 216)
    floor (0.423881530761719 × 65536)
    floor (27779.5)     		ty = 27779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37509 / 27779 ti = "16/37509/27779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37509/27779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37509 ÷ 216
    37509 ÷ 65536     		x = 0.572341918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27779 ÷ 216
    27779 ÷ 65536     		y = 0.423873901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572341918945312 × 2 - 1) × π
    0.144683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45453768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423873901367188 × 2 - 1) × π
    0.152252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.47831438440892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45453768} λ = 0.45453768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47831438440892))-π/2
    2×atan(1.6133526165708)-π/2
    2×1.01592535462053-π/2
    2.03185070924107-1.57079632675     		φ = 0.46105438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45453768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.043091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46105438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.416470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37509 KachelY 27779 0.45453768 0.46105438 26.043091 26.416470
    Oben rechts KachelX + 1 37510 KachelY 27779 0.45463356 0.46105438 26.048584 26.416470
    Unten links KachelX 37509 KachelY + 1 27780 0.45453768 0.46096852 26.043091 26.411551
    Unten rechts KachelX + 1 37510 KachelY + 1 27780 0.45463356 0.46096852 26.048584 26.411551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46105438-0.46096852) × R
    8.58599999999932e-05 × 6371000     		dl = 547.014059999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46105438-0.46096852) × R
    8.58599999999932e-05 × 6371000     		dr = 547.014059999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45453768-0.45463356) × cos(0.46105438) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8955839095288 × 6371000     		do = 547.068756599811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45453768-0.45463356) × cos(0.46096852) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.895622104709715 × 6371000     		du = 547.092088182603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46105438)-sin(0.46096852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8955839095288-0.895622104709715)×R²
    abs(0.45463356-0.45453768)×3.81951809154124e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81951809154124e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81951809154124e-05×40589641000000     		ar = 299260.683182479m²