Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37508 / 27789
↖ ↑ ↗
← N 26.367264°
E 26.037598°		 ← 547.24 m → N 26.367264°
E 26.043091°		 →
↑
547.27 m
↓
↑
547.27 m
↓
N 26.362342°
E 26.037598°		 ← 547.27 m →
299 496 m²		 N 26.362342°
E 26.043091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572334289550781 y=0.424034118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572334289550781 × 216)
    floor (0.572334289550781 × 65536)
    floor (37508.5)     		tx = 37508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424034118652344 × 216)
    floor (0.424034118652344 × 65536)
    floor (27789.5)     		ty = 27789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37508 / 27789 ti = "16/37508/27789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37508/27789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37508 ÷ 216
    37508 ÷ 65536     		x = 0.57232666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27789 ÷ 216
    27789 ÷ 65536     		y = 0.424026489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57232666015625 × 2 - 1) × π
    0.1446533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45444181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424026489257812 × 2 - 1) × π
    0.151947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.477355646416519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45444181} λ = 0.45444181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477355646416519))-π/2
    2×atan(1.6118065753648)-π/2
    2×1.01549594794202-π/2
    2.03099189588404-1.57079632675     		φ = 0.46019557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45444181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.037598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46019557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.367264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37508 KachelY 27789 0.45444181 0.46019557 26.037598 26.367264
    Oben rechts KachelX + 1 37509 KachelY 27789 0.45453768 0.46019557 26.043091 26.367264
    Unten links KachelX 37508 KachelY + 1 27790 0.45444181 0.46010967 26.037598 26.362342
    Unten rechts KachelX + 1 37509 KachelY + 1 27790 0.45453768 0.46010967 26.043091 26.362342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46019557-0.46010967) × R
    8.58999999999721e-05 × 6371000     		dl = 547.268899999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46019557-0.46010967) × R
    8.58999999999721e-05 × 6371000     		dr = 547.268899999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45444181-0.45453768) × cos(0.46019557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89596565745886 × 6371000     		do = 547.244865915869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45444181-0.45453768) × cos(0.46010967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896003804348092 × 6371000     		du = 547.268165569276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46019557)-sin(0.46010967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89596565745886-0.896003804348092)×R²
    abs(0.45453768-0.45444181)×3.81468892326486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81468892326486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81468892326486e-05×40589641000000     		ar = 299496.471572347m²