Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37507 / 27787
↖ ↑ ↗
← N 26.377107°
E 26.032104°		 ← 547.26 m → N 26.377107°
E 26.037598°		 →
↑
547.21 m
↓
↑
547.21 m
↓
N 26.372186°
E 26.032104°		 ← 547.28 m →
299 467 m²		 N 26.372186°
E 26.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572319030761719 y=0.424003601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572319030761719 × 216)
    floor (0.572319030761719 × 65536)
    floor (37507.5)     		tx = 37507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424003601074219 × 216)
    floor (0.424003601074219 × 65536)
    floor (27787.5)     		ty = 27787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37507 / 27787 ti = "16/37507/27787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37507/27787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37507 ÷ 216
    37507 ÷ 65536     		x = 0.572311401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27787 ÷ 216
    27787 ÷ 65536     		y = 0.423995971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572311401367188 × 2 - 1) × π
    0.144622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45434593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423995971679688 × 2 - 1) × π
    0.152008056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.477547394014999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45434593} λ = 0.45434593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477547394014999))-π/2
    2×atan(1.6121156650375)-π/2
    2×1.01558184391572-π/2
    2.03116368783144-1.57079632675     		φ = 0.46036736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45434593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.032104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46036736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.377107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37507 KachelY 27787 0.45434593 0.46036736 26.032104 26.377107
    Oben rechts KachelX + 1 37508 KachelY 27787 0.45444181 0.46036736 26.037598 26.377107
    Unten links KachelX 37507 KachelY + 1 27788 0.45434593 0.46028147 26.032104 26.372186
    Unten rechts KachelX + 1 37508 KachelY + 1 27788 0.45444181 0.46028147 26.037598 26.372186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46036736-0.46028147) × R
    8.58899999999774e-05 × 6371000     		dl = 547.205189999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46036736-0.46028147) × R
    8.58899999999774e-05 × 6371000     		dr = 547.205189999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45434593-0.45444181) × cos(0.46036736) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.895889348289967 × 6371000     		do = 547.25533431912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45434593-0.45444181) × cos(0.46028147) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.895927503958467 × 6371000     		du = 547.278641765693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46036736)-sin(0.46028147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895889348289967-0.895927503958467)×R²
    abs(0.45444181-0.45434593)×3.81556684992956e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81556684992956e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81556684992956e-05×40589641000000     		ar = 299467.336356362m²