Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37507 / 27746
↖ ↑ ↗
← N 26.578703°
E 26.032104°		 ← 546.30 m → N 26.578703°
E 26.037598°		 →
↑
546.31 m
↓
↑
546.31 m
↓
N 26.573789°
E 26.032104°		 ← 546.32 m →
298 456 m²		 N 26.573789°
E 26.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572319030761719 y=0.423377990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572319030761719 × 216)
    floor (0.572319030761719 × 65536)
    floor (37507.5)     		tx = 37507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423377990722656 × 216)
    floor (0.423377990722656 × 65536)
    floor (27746.5)     		ty = 27746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37507 / 27746 ti = "16/37507/27746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37507/27746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37507 ÷ 216
    37507 ÷ 65536     		x = 0.572311401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27746 ÷ 216
    27746 ÷ 65536     		y = 0.423370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572311401367188 × 2 - 1) × π
    0.144622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45434593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423370361328125 × 2 - 1) × π
    0.15325927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.481478219783844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45434593} λ = 0.45434593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481478219783844))-π/2
    2×atan(1.61846508188606)-π/2
    2×1.01734109614284-π/2
    2.03468219228568-1.57079632675     		φ = 0.46388587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45434593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.032104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46388587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.578703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37507 KachelY 27746 0.45434593 0.46388587 26.032104 26.578703
    Oben rechts KachelX + 1 37508 KachelY 27746 0.45444181 0.46388587 26.037598 26.578703
    Unten links KachelX 37507 KachelY + 1 27747 0.45434593 0.46380012 26.032104 26.573789
    Unten rechts KachelX + 1 37508 KachelY + 1 27747 0.45444181 0.46380012 26.037598 26.573789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46388587-0.46380012) × R
    8.57499999999956e-05 × 6371000     		dl = 546.313249999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46388587-0.46380012) × R
    8.57499999999956e-05 × 6371000     		dr = 546.313249999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45434593-0.45444181) × cos(0.46388587) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89432061205525 × 6371000     		do = 546.297069468413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45434593-0.45444181) × cos(0.46380012) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894358975605866 × 6371000     		du = 546.320503900085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46388587)-sin(0.46380012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89432061205525-0.894358975605866)×R²
    abs(0.45444181-0.45434593)×3.83635506159274e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83635506159274e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83635506159274e-05×40589641000000     		ar = 298455.72893988m²