Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37506 / 27782
↖ ↑ ↗
← N 26.401711°
E 26.026611°		 ← 547.08 m → N 26.401711°
E 26.032104°		 →
↑
547.14 m
↓
↑
547.14 m
↓
N 26.396790°
E 26.026611°		 ← 547.11 m →
299 337 m²		 N 26.396790°
E 26.032104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572303771972656 y=0.423927307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572303771972656 × 216)
    floor (0.572303771972656 × 65536)
    floor (37506.5)     		tx = 37506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423927307128906 × 216)
    floor (0.423927307128906 × 65536)
    floor (27782.5)     		ty = 27782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37506 / 27782 ti = "16/37506/27782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37506/27782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37506 ÷ 216
    37506 ÷ 65536     		x = 0.572296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27782 ÷ 216
    27782 ÷ 65536     		y = 0.423919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572296142578125 × 2 - 1) × π
    0.14459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45425006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423919677734375 × 2 - 1) × π
    0.15216064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.4780267630112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45425006} λ = 0.45425006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4780267630112))-π/2
    2×atan(1.61288864856297)-π/2
    2×1.01579655183353-π/2
    2.03159310366706-1.57079632675     		φ = 0.46079678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45425006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.026611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46079678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.401711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37506 KachelY 27782 0.45425006 0.46079678 26.026611 26.401711
    Oben rechts KachelX + 1 37507 KachelY 27782 0.45434593 0.46079678 26.032104 26.401711
    Unten links KachelX 37506 KachelY + 1 27783 0.45425006 0.46071090 26.026611 26.396790
    Unten rechts KachelX + 1 37507 KachelY + 1 27783 0.45434593 0.46071090 26.032104 26.396790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46079678-0.46071090) × R
    8.58800000000381e-05 × 6371000     		dl = 547.141480000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46079678-0.46071090) × R
    8.58800000000381e-05 × 6371000     		dr = 547.141480000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45425006-0.45434593) × cos(0.46079678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895698484157087 × 6371000     		do = 547.081679730676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45425006-0.45434593) × cos(0.46071090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895736668419904 × 6371000     		du = 547.10500221141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46079678)-sin(0.46071090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895698484157087-0.895736668419904)×R²
    abs(0.45434593-0.45425006)×3.8184262816765e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8184262816765e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8184262816765e-05×40589641000000     		ar = 299337.46046122m²