Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37506 / 27522
↖ ↑ ↗
← N 27.673799°
E 26.026611°		 ← 540.92 m → N 27.673799°
E 26.032104°		 →
↑
540.96 m
↓
↑
540.96 m
↓
N 27.668934°
E 26.026611°		 ← 540.94 m →
292 622 m²		 N 27.668934°
E 26.032104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572303771972656 y=0.419960021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572303771972656 × 216)
    floor (0.572303771972656 × 65536)
    floor (37506.5)     		tx = 37506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419960021972656 × 216)
    floor (0.419960021972656 × 65536)
    floor (27522.5)     		ty = 27522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37506 / 27522 ti = "16/37506/27522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37506/27522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37506 ÷ 216
    37506 ÷ 65536     		x = 0.572296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27522 ÷ 216
    27522 ÷ 65536     		y = 0.419952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572296142578125 × 2 - 1) × π
    0.14459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45425006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419952392578125 × 2 - 1) × π
    0.16009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.502953950813629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45425006} λ = 0.45425006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502953950813629))-π/2
    2×atan(1.65359871255419)-π/2
    2×1.02689761756553-π/2
    2.05379523513106-1.57079632675     		φ = 0.48299891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45425006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.026611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48299891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.673799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37506 KachelY 27522 0.45425006 0.48299891 26.026611 27.673799
    Oben rechts KachelX + 1 37507 KachelY 27522 0.45434593 0.48299891 26.032104 27.673799
    Unten links KachelX 37506 KachelY + 1 27523 0.45425006 0.48291400 26.026611 27.668934
    Unten rechts KachelX + 1 37507 KachelY + 1 27523 0.45434593 0.48291400 26.032104 27.668934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48299891-0.48291400) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dl = 540.961609999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48299891-0.48291400) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dr = 540.961609999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45425006-0.45434593) × cos(0.48299891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885606102093485 × 6371000     		do = 540.91737619606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45425006-0.45434593) × cos(0.48291400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885645534256222 × 6371000     		du = 540.941460878805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48299891)-sin(0.48291400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885606102093485-0.885645534256222)×R²
    abs(0.45434593-0.45425006)×3.94321627369409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94321627369409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94321627369409e-05×40589641000000     		ar = 292622.049324258m²