Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37504 / 28288
↖ ↑ ↗
← N 23.885838°
E 26.015625°		 ← 558.53 m → N 23.885838°
E 26.021118°		 →
↑
558.48 m
↓
↑
558.48 m
↓
N 23.880815°
E 26.015625°		 ← 558.56 m →
311 937 m²		 N 23.880815°
E 26.021118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572273254394531 y=0.431648254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572273254394531 × 216)
    floor (0.572273254394531 × 65536)
    floor (37504.5)     		tx = 37504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431648254394531 × 216)
    floor (0.431648254394531 × 65536)
    floor (28288.5)     		ty = 28288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37504 / 28288 ti = "16/37504/28288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37504/28288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37504 ÷ 216
    37504 ÷ 65536     		x = 0.572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28288 ÷ 216
    28288 ÷ 65536     		y = 0.431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572265625 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431640625 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45405831} λ = 0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429514620595703))-π/2
    2×atan(1.53651155146164)-π/2
    2×0.993841419621626-π/2
    1.98768283924325-1.57079632675     		φ = 0.41688651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41688651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.885838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37504 KachelY 28288 0.45405831 0.41688651 26.015625 23.885838
    Oben rechts KachelX + 1 37505 KachelY 28288 0.45415419 0.41688651 26.021118 23.885838
    Unten links KachelX 37504 KachelY + 1 28289 0.45405831 0.41679885 26.015625 23.880815
    Unten rechts KachelX + 1 37505 KachelY + 1 28289 0.45415419 0.41679885 26.021118 23.880815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41688651-0.41679885) × R
    8.76599999999894e-05 × 6371000     		dl = 558.481859999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41688651-0.41679885) × R
    8.76599999999894e-05 × 6371000     		dr = 558.481859999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45405831-0.45415419) × cos(0.41688651) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.91435407069783 × 6371000     		do = 558.534537329751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45405831-0.45415419) × cos(0.41679885) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914389562085153 × 6371000     		du = 558.556217296225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41688651)-sin(0.41679885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91435407069783-0.914389562085153)×R²
    abs(0.45415419-0.45405831)×3.54913873235052e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.54913873235052e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.54913873235052e-05×40589641000000     		ar = 311937.461415691m²