Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37504 / 27520
↖ ↑ ↗
← N 27.683528°
E 26.015625°		 ← 540.93 m → N 27.683528°
E 26.021118°		 →
↑
540.90 m
↓
↑
540.90 m
↓
N 27.678663°
E 26.015625°		 ← 540.95 m →
292 592 m²		 N 27.678663°
E 26.021118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572273254394531 y=0.419929504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572273254394531 × 216)
    floor (0.572273254394531 × 65536)
    floor (37504.5)     		tx = 37504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419929504394531 × 216)
    floor (0.419929504394531 × 65536)
    floor (27520.5)     		ty = 27520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37504 / 27520 ti = "16/37504/27520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37504/27520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37504 ÷ 216
    37504 ÷ 65536     		x = 0.572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27520 ÷ 216
    27520 ÷ 65536     		y = 0.419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572265625 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419921875 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45405831} λ = 0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.503145698412109))-π/2
    2×atan(1.65391581653716)-π/2
    2×1.02698252020629-π/2
    2.05396504041258-1.57079632675     		φ = 0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37504 KachelY 27520 0.45405831 0.48316871 26.015625 27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 37505 KachelY 27520 0.45415419 0.48316871 26.021118 27.683528
    Unten links KachelX 37504 KachelY + 1 27521 0.45405831 0.48308381 26.015625 27.678663
    Unten rechts KachelX + 1 37505 KachelY + 1 27521 0.45415419 0.48308381 26.021118 27.678663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48316871-0.48308381) × R
    8.48999999999989e-05 × 6371000     		dl = 540.897899999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48316871-0.48308381) × R
    8.48999999999989e-05 × 6371000     		dr = 540.897899999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45405831-0.45415419) × cos(0.48316871) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 540.925617746124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45405831-0.45415419) × cos(0.48308381) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88556666819091 × 6371000     		du = 540.949709903045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48316871)-sin(0.48308381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.88556666819091)×R²
    abs(0.45415419-0.45405831)×3.94402857487597e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.94402857487597e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.94402857487597e-05×40589641000000     		ar = 292592.046569412m²