Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37503 / 27518
↖ ↑ ↗
← N 27.693256°
E 26.010132°		 ← 540.82 m → N 27.693256°
E 26.015625°		 →
↑
540.83 m
↓
↑
540.83 m
↓
N 27.688392°
E 26.010132°		 ← 540.85 m →
292 501 m²		 N 27.688392°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572257995605469 y=0.419898986816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572257995605469 × 216)
    floor (0.572257995605469 × 65536)
    floor (37503.5)     		tx = 37503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419898986816406 × 216)
    floor (0.419898986816406 × 65536)
    floor (27518.5)     		ty = 27518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37503 / 27518 ti = "16/37503/27518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37503/27518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37503 ÷ 216
    37503 ÷ 65536     		x = 0.572250366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27518 ÷ 216
    27518 ÷ 65536     		y = 0.419891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572250366210938 × 2 - 1) × π
    0.144500732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45396244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419891357421875 × 2 - 1) × π
    0.16021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.50333744601059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45396244} λ = 0.45396244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50333744601059))-π/2
    2×atan(1.65423298132989)-π/2
    2×1.02706741528396-π/2
    2.05413483056791-1.57079632675     		φ = 0.48333850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45396244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.010132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48333850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.693256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37503 KachelY 27518 0.45396244 0.48333850 26.010132 27.693256
    Oben rechts KachelX + 1 37504 KachelY 27518 0.45405831 0.48333850 26.015625 27.693256
    Unten links KachelX 37503 KachelY + 1 27519 0.45396244 0.48325361 26.010132 27.688392
    Unten rechts KachelX + 1 37504 KachelY + 1 27519 0.45405831 0.48325361 26.015625 27.688392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48333850-0.48325361) × R
    8.48900000000041e-05 × 6371000     		dl = 540.834190000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48333850-0.48325361) × R
    8.48900000000041e-05 × 6371000     		dr = 540.834190000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45396244-0.45405831) × cos(0.48333850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885448332832659 × 6371000     		do = 540.821012661066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45396244-0.45405831) × cos(0.48325361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885487781236523 × 6371000     		du = 540.845107263692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48333850)-sin(0.48325361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885448332832659-0.885487781236523)×R²
    abs(0.45405831-0.45396244)×3.94484038643839e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94484038643839e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94484038643839e-05×40589641000000     		ar = 292501.010085578m²