Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37500 / 28551
↖ ↑ ↗
← N 22.558220°
E 25.993652°		 ← 564.06 m → N 22.558220°
E 25.999145°		 →
↑
564.09 m
↓
↑
564.09 m
↓
N 22.553147°
E 25.993652°		 ← 564.08 m →
318 184 m²		 N 22.553147°
E 25.999145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572212219238281 y=0.435661315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572212219238281 × 216)
    floor (0.572212219238281 × 65536)
    floor (37500.5)     		tx = 37500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435661315917969 × 216)
    floor (0.435661315917969 × 65536)
    floor (28551.5)     		ty = 28551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37500 / 28551 ti = "16/37500/28551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37500/28551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37500 ÷ 216
    37500 ÷ 65536     		x = 0.57220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28551 ÷ 216
    28551 ÷ 65536     		y = 0.435653686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57220458984375 × 2 - 1) × π
    0.1444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45367482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435653686523438 × 2 - 1) × π
    0.128692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.404299811395554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45367482} λ = 0.45367482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404299811395554))-π/2
    2×atan(1.49825307297293)-π/2
    2×0.982255773555993-π/2
    1.96451154711199-1.57079632675     		φ = 0.39371522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45367482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39371522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.558220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37500 KachelY 28551 0.45367482 0.39371522 25.993652 22.558220
    Oben rechts KachelX + 1 37501 KachelY 28551 0.45377069 0.39371522 25.999145 22.558220
    Unten links KachelX 37500 KachelY + 1 28552 0.45367482 0.39362668 25.993652 22.553147
    Unten rechts KachelX + 1 37501 KachelY + 1 28552 0.45377069 0.39362668 25.999145 22.553147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39371522-0.39362668) × R
    8.85399999999703e-05 × 6371000     		dl = 564.088339999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39371522-0.39362668) × R
    8.85399999999703e-05 × 6371000     		dr = 564.088339999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45367482-0.45377069) × cos(0.39371522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923490196315434 × 6371000     		do = 564.056517624354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45367482-0.45377069) × cos(0.39362668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923524158589623 × 6371000     		du = 564.07726136607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39371522)-sin(0.39362668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923490196315434-0.923524158589623)×R²
    abs(0.45377069-0.45367482)×3.39622741889478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39622741889478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39622741889478e-05×40589641000000     		ar = 318183.555551894m²