Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37500 / 27796
↖ ↑ ↗
← N 26.332807°
E 25.993652°		 ← 547.41 m → N 26.332807°
E 25.999145°		 →
↑
547.40 m
↓
↑
547.40 m
↓
N 26.327884°
E 25.993652°		 ← 547.43 m →
299 655 m²		 N 26.327884°
E 25.999145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572212219238281 y=0.424140930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572212219238281 × 216)
    floor (0.572212219238281 × 65536)
    floor (37500.5)     		tx = 37500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424140930175781 × 216)
    floor (0.424140930175781 × 65536)
    floor (27796.5)     		ty = 27796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37500 / 27796 ti = "16/37500/27796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37500/27796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37500 ÷ 216
    37500 ÷ 65536     		x = 0.57220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27796 ÷ 216
    27796 ÷ 65536     		y = 0.42413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57220458984375 × 2 - 1) × π
    0.1444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45367482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42413330078125 × 2 - 1) × π
    0.1517333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.476684529821838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45367482} λ = 0.45367482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476684529821838))-π/2
    2×atan(1.61072522812029)-π/2
    2×1.01519525443961-π/2
    2.03039050887921-1.57079632675     		φ = 0.45959418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45367482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45959418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.332807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37500 KachelY 27796 0.45367482 0.45959418 25.993652 26.332807
    Oben rechts KachelX + 1 37501 KachelY 27796 0.45377069 0.45959418 25.999145 26.332807
    Unten links KachelX 37500 KachelY + 1 27797 0.45367482 0.45950826 25.993652 26.327884
    Unten rechts KachelX + 1 37501 KachelY + 1 27797 0.45377069 0.45950826 25.999145 26.327884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45959418-0.45950826) × R
    8.59200000000171e-05 × 6371000     		dl = 547.396320000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45959418-0.45950826) × R
    8.59200000000171e-05 × 6371000     		dr = 547.396320000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45367482-0.45377069) × cos(0.45959418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896232586755964 × 6371000     		do = 547.407903065995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45367482-0.45377069) × cos(0.45950826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896270696222415 × 6371000     		du = 547.431179862024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45959418)-sin(0.45950826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896232586755964-0.896270696222415)×R²
    abs(0.45377069-0.45367482)×3.81094664513304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81094664513304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81094664513304e-05×40589641000000     		ar = 299655.442677808m²