Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3750 / 3726
↖ ↑ ↗
← S 81.281717°
E149.589844°		 ← 1 481.35 m → S 81.281717°
E149.677734°		 →
↑
1 480.24 m
↓
↑
1 480.24 m
↓
S 81.295029°
E149.589844°		 ← 1 479.11 m →
2 191 093 m²		 S 81.295029°
E149.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9156494140625 y=0.9097900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9156494140625 × 212)
    floor (0.9156494140625 × 4096)
    floor (3750.5)     		tx = 3750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9097900390625 × 212)
    floor (0.9097900390625 × 4096)
    floor (3726.5)     		ty = 3726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3750 / 3726 ti = "12/3750/3726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3750/3726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3750 ÷ 212
    3750 ÷ 4096     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3726 ÷ 212
    3726 ÷ 4096     		y = 0.90966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90966796875 × 2 - 1) × π
    -0.8193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57401976199854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57401976199854))-π/2
    2×atan(0.076228508268462)-π/2
    2×0.0760813717465714-π/2
    0.152162743493143-1.57079632675     		φ = -1.41863358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41863358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.281717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3750 KachelY 3726 2.61083530 -1.41863358 149.589844 -81.281717
    Oben rechts KachelX + 1 3751 KachelY 3726 2.61236928 -1.41863358 149.677734 -81.281717
    Unten links KachelX 3750 KachelY + 1 3727 2.61083530 -1.41886592 149.589844 -81.295029
    Unten rechts KachelX + 1 3751 KachelY + 1 3727 2.61236928 -1.41886592 149.677734 -81.295029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41863358--1.41886592) × R
    0.000232339999999942 × 6371000     		dl = 1480.23813999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41863358--1.41886592) × R
    0.000232339999999942 × 6371000     		dr = 1480.23813999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61236928) × cos(-1.41863358) × R
    0.0015339799999996 × 0.151576242789862 × 6371000     		do = 1481.35258663176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61236928) × cos(-1.41886592) × R
    0.0015339799999996 × 0.151346583257271 × 6371000     		du = 1479.10812710178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41863358)-sin(-1.41886592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151576242789862-0.151346583257271)×R²
    abs(2.61236928-2.61083530)×0.000229659532590271×R²
    0.0015339799999996×0.000229659532590271×6371000²
    0.0015339799999996×0.000229659532590271×40589641000000     		ar = 2191093.44007854m²