Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3750 / 3715
↖ ↑ ↗
← S 81.133945°
E149.589844°		 ← 1 506.26 m → S 81.133945°
E149.677734°		 →
↑
1 505.15 m
↓
↑
1 505.15 m
↓
S 81.147481°
E149.589844°		 ← 1 503.98 m →
2 265 432 m²		 S 81.147481°
E149.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9156494140625 y=0.9071044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9156494140625 × 212)
    floor (0.9156494140625 × 4096)
    floor (3750.5)     		tx = 3750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9071044921875 × 212)
    floor (0.9071044921875 × 4096)
    floor (3715.5)     		ty = 3715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3750 / 3715 ti = "12/3750/3715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3750/3715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3750 ÷ 212
    3750 ÷ 4096     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3715 ÷ 212
    3715 ÷ 4096     		y = 0.906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.81396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55714597333228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55714597333228))-π/2
    2×atan(0.0775256853754557)-π/2
    2×0.077370927290226-π/2
    0.154741854580452-1.57079632675     		φ = -1.41605447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41605447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.133945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3750 KachelY 3715 2.61083530 -1.41605447 149.589844 -81.133945
    Oben rechts KachelX + 1 3751 KachelY 3715 2.61236928 -1.41605447 149.677734 -81.133945
    Unten links KachelX 3750 KachelY + 1 3716 2.61083530 -1.41629072 149.589844 -81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 3751 KachelY + 1 3716 2.61236928 -1.41629072 149.677734 -81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41605447--1.41629072) × R
    0.000236249999999938 × 6371000     		dl = 1505.1487499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41605447--1.41629072) × R
    0.000236249999999938 × 6371000     		dr = 1505.1487499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61236928) × cos(-1.41605447) × R
    0.0015339799999996 × 0.154125045686959 × 6371000     		do = 1506.26200314015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61236928) × cos(-1.41629072) × R
    0.0015339799999996 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 1503.98068090306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41605447)-sin(-1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154125045686959-0.153891614256514)×R²
    abs(2.61236928-2.61083530)×0.000233431430445047×R²
    0.0015339799999996×0.000233431430445047×6371000²
    0.0015339799999996×0.000233431430445047×40589641000000     		ar = 2265431.51707818m²