Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3750 / 3685
↖ ↑ ↗
← S 80.718184°
E149.589844°		 ← 1 576.29 m → S 80.718184°
E149.677734°		 →
↑
1 575.04 m
↓
↑
1 575.04 m
↓
S 80.732348°
E149.589844°		 ← 1 573.91 m →
2 480 841 m²		 S 80.732348°
E149.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9156494140625 y=0.8997802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9156494140625 × 212)
    floor (0.9156494140625 × 4096)
    floor (3750.5)     		tx = 3750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8997802734375 × 212)
    floor (0.8997802734375 × 4096)
    floor (3685.5)     		ty = 3685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3750 / 3685 ti = "12/3750/3685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3750/3685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3750 ÷ 212
    3750 ÷ 4096     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3685 ÷ 212
    3685 ÷ 4096     		y = 0.899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.79931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51112654969702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51112654969702))-π/2
    2×atan(0.0811767380805767)-π/2
    2×0.0809991306667528-π/2
    0.161998261333506-1.57079632675     		φ = -1.40879807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40879807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.718184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3750 KachelY 3685 2.61083530 -1.40879807 149.589844 -80.718184
    Oben rechts KachelX + 1 3751 KachelY 3685 2.61236928 -1.40879807 149.677734 -80.718184
    Unten links KachelX 3750 KachelY + 1 3686 2.61083530 -1.40904529 149.589844 -80.732348
    Unten rechts KachelX + 1 3751 KachelY + 1 3686 2.61236928 -1.40904529 149.677734 -80.732348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40879807--1.40904529) × R
    0.000247219999999881 × 6371000     		dl = 1575.03861999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40879807--1.40904529) × R
    0.000247219999999881 × 6371000     		dr = 1575.03861999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61236928) × cos(-1.40879807) × R
    0.0015339799999996 × 0.161290620847394 × 6371000     		do = 1576.29107302104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61236928) × cos(-1.40904529) × R
    0.0015339799999996 × 0.161046632783882 × 6371000     		du = 1573.90658095066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40879807)-sin(-1.40904529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161290620847394-0.161046632783882)×R²
    abs(2.61236928-2.61083530)×0.000243988063512224×R²
    0.0015339799999996×0.000243988063512224×6371000²
    0.0015339799999996×0.000243988063512224×40589641000000     		ar = 2480841.49544807m²