Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3750 / 2723
↖ ↑ ↗
← N 76.000156°
W 97.602539°		 ← 591.06 m → N 76.000156°
W 97.580566°		 →
↑
591.17 m
↓
↑
591.17 m
↓
N 75.994839°
W 97.602539°		 ← 591.28 m →
349 479 m²		 N 75.994839°
W 97.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228912353515625 y=0.166229248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228912353515625 × 214)
    floor (0.228912353515625 × 16384)
    floor (3750.5)     		tx = 3750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166229248046875 × 214)
    floor (0.166229248046875 × 16384)
    floor (2723.5)     		ty = 2723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3750 / 2723 ti = "14/3750/2723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3750/2723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3750 ÷ 214
    3750 ÷ 16384     		x = 0.2288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2723 ÷ 214
    2723 ÷ 16384     		y = 0.16619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.542236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70348566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16619873046875 × 2 - 1) × π
    0.6676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.0973352321767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70348566} λ = -1.70348566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0973352321767))-π/2
    2×atan(8.14443793394357)-π/2
    2×1.44862463819943-π/2
    2.89724927639885-1.57079632675     		φ = 1.32645295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70348566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32645295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.000156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3750 KachelY 2723 -1.70348566 1.32645295 -97.602539 76.000156
    Oben rechts KachelX + 1 3751 KachelY 2723 -1.70310217 1.32645295 -97.580566 76.000156
    Unten links KachelX 3750 KachelY + 1 2724 -1.70348566 1.32636016 -97.602539 75.994839
    Unten rechts KachelX + 1 3751 KachelY + 1 2724 -1.70310217 1.32636016 -97.580566 75.994839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32645295-1.32636016) × R
    9.27900000000648e-05 × 6371000     		dl = 591.165090000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32645295-1.32636016) × R
    9.27900000000648e-05 × 6371000     		dr = 591.165090000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70348566--1.70310217) × cos(1.32645295) × R
    0.000383489999999931 × 0.241919257865066 × 6371000     		do = 591.060708801647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70348566--1.70310217) × cos(1.32636016) × R
    0.000383489999999931 × 0.242009290624942 × 6371000     		du = 591.28067817216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32645295)-sin(1.32636016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241919257865066-0.242009290624942)×R²
    abs(-1.70310217--1.70348566)×9.0032759875569e-05×R²
    0.000383489999999931×9.0032759875569e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.0032759875569e-05×40589641000000     		ar = 349479.476470536m²