Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3750 / 2601
↖ ↑ ↗
← N 54.749991°
W 15.205078°		 ← 2 820.22 m → N 54.749991°
W 15.161133°		 →
↑
2 821.14 m
↓
↑
2 821.14 m
↓
N 54.724620°
W 15.205078°		 ← 2 821.98 m →
7 958 726 m²		 N 54.724620°
W 15.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45782470703125 y=0.31756591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45782470703125 × 213)
    floor (0.45782470703125 × 8192)
    floor (3750.5)     		tx = 3750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31756591796875 × 213)
    floor (0.31756591796875 × 8192)
    floor (2601.5)     		ty = 2601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3750 / 2601 ti = "13/3750/2601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3750/2601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3750 ÷ 213
    3750 ÷ 8192     		x = 0.457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2601 ÷ 213
    2601 ÷ 8192     		y = 0.3175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3175048828125 × 2 - 1) × π
    0.364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14665063891174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26537868} λ = -0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14665063891174))-π/2
    2×atan(3.14763267613876)-π/2
    2×1.2631819673218-π/2
    2.52636393464361-1.57079632675     		φ = 0.95556761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95556761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.749991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3750 KachelY 2601 -0.26537868 0.95556761 -15.205078 54.749991
    Oben rechts KachelX + 1 3751 KachelY 2601 -0.26461169 0.95556761 -15.161133 54.749991
    Unten links KachelX 3750 KachelY + 1 2602 -0.26537868 0.95512480 -15.205078 54.724620
    Unten rechts KachelX + 1 3751 KachelY + 1 2602 -0.26461169 0.95512480 -15.161133 54.724620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95556761-0.95512480) × R
    0.000442810000000016 × 6371000     		dl = 2821.1425100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95556761-0.95512480) × R
    0.000442810000000016 × 6371000     		dr = 2821.1425100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26537868--0.26461169) × cos(0.95556761) × R
    0.000766989999999967 × 0.577145316997954 × 6371000     		do = 2820.2167188653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26537868--0.26461169) × cos(0.95512480) × R
    0.000766989999999967 × 0.577506877409919 × 6371000     		du = 2821.9834813923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95556761)-sin(0.95512480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577145316997954-0.577506877409919)×R²
    abs(-0.26461169--0.26537868)×0.000361560411964668×R²
    0.000766989999999967×0.000361560411964668×6371000²
    0.000766989999999967×0.000361560411964668×40589641000000     		ar = 7958725.54748612m²