Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37499 / 28291
↖ ↑ ↗
← N 23.870769°
E 25.988159°		 ← 558.60 m → N 23.870769°
E 25.993652°		 →
↑
558.61 m
↓
↑
558.61 m
↓
N 23.865745°
E 25.988159°		 ← 558.62 m →
312 045 m²		 N 23.865745°
E 25.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572196960449219 y=0.431694030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572196960449219 × 216)
    floor (0.572196960449219 × 65536)
    floor (37499.5)     		tx = 37499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431694030761719 × 216)
    floor (0.431694030761719 × 65536)
    floor (28291.5)     		ty = 28291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37499 / 28291 ti = "16/37499/28291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37499/28291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37499 ÷ 216
    37499 ÷ 65536     		x = 0.572189331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28291 ÷ 216
    28291 ÷ 65536     		y = 0.431686401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572189331054688 × 2 - 1) × π
    0.144378662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45357894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431686401367188 × 2 - 1) × π
    0.136627197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.429226999197983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45357894} λ = 0.45357894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429226999197983))-π/2
    2×atan(1.53606968141028)-π/2
    2×0.993709918068028-π/2
    1.98741983613606-1.57079632675     		φ = 0.41662351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45357894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.988159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41662351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.870769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37499 KachelY 28291 0.45357894 0.41662351 25.988159 23.870769
    Oben rechts KachelX + 1 37500 KachelY 28291 0.45367482 0.41662351 25.993652 23.870769
    Unten links KachelX 37499 KachelY + 1 28292 0.45357894 0.41653583 25.988159 23.865745
    Unten rechts KachelX + 1 37500 KachelY + 1 28292 0.45367482 0.41653583 25.993652 23.865745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41662351-0.41653583) × R
    8.76799999999789e-05 × 6371000     		dl = 558.609279999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41662351-0.41653583) × R
    8.76799999999789e-05 × 6371000     		dr = 558.609279999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45357894-0.45367482) × cos(0.41662351) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914460531873766 × 6371000     		do = 558.599569296634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45357894-0.45367482) × cos(0.41653583) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914496010271302 × 6371000     		du = 558.621241328277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41662351)-sin(0.41653583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914460531873766-0.914496010271302)×R²
    abs(0.45367482-0.45357894)×3.54783975365924e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.54783975365924e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.54783975365924e-05×40589641000000     		ar = 312044.956511965m²