Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37498 / 27330
↖ ↑ ↗
← N 28.603814°
E 25.982666°		 ← 536.24 m → N 28.603814°
E 25.988159°		 →
↑
536.25 m
↓
↑
536.25 m
↓
N 28.598992°
E 25.982666°		 ← 536.27 m →
287 565 m²		 N 28.598992°
E 25.988159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572181701660156 y=0.417030334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572181701660156 × 216)
    floor (0.572181701660156 × 65536)
    floor (37498.5)     		tx = 37498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417030334472656 × 216)
    floor (0.417030334472656 × 65536)
    floor (27330.5)     		ty = 27330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37498 / 27330 ti = "16/37498/27330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37498/27330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37498 ÷ 216
    37498 ÷ 65536     		x = 0.572174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27330 ÷ 216
    27330 ÷ 65536     		y = 0.417022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572174072265625 × 2 - 1) × π
    0.14434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45348307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417022705078125 × 2 - 1) × π
    0.16595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.521361720267731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45348307} λ = 0.45348307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.521361720267731))-π/2
    2×atan(1.68431966102533)-π/2
    2×1.03501353341402-π/2
    2.07002706682804-1.57079632675     		φ = 0.49923074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45348307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49923074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.603814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37498 KachelY 27330 0.45348307 0.49923074 25.982666 28.603814
    Oben rechts KachelX + 1 37499 KachelY 27330 0.45357894 0.49923074 25.988159 28.603814
    Unten links KachelX 37498 KachelY + 1 27331 0.45348307 0.49914657 25.982666 28.598992
    Unten rechts KachelX + 1 37499 KachelY + 1 27331 0.45357894 0.49914657 25.988159 28.598992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49923074-0.49914657) × R
    8.41699999999945e-05 × 6371000     		dl = 536.247069999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49923074-0.49914657) × R
    8.41699999999945e-05 × 6371000     		dr = 536.247069999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45348307-0.45357894) × cos(0.49923074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877951105084294 × 6371000     		do = 536.24179764346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45348307-0.45357894) × cos(0.49914657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877991398387681 × 6371000     		du = 536.266408300381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49923074)-sin(0.49914657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877951105084294-0.877991398387681)×R²
    abs(0.45357894-0.45348307)×4.02933033866182e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02933033866182e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02933033866182e-05×40589641000000     		ar = 287564.691663892m²