Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37497 / 27975
↖ ↑ ↗
← N 25.448235°
E 25.977173°		 ← 551.53 m → N 25.448235°
E 25.982666°		 →
↑
551.60 m
↓
↑
551.60 m
↓
N 25.443274°
E 25.977173°		 ← 551.55 m →
304 228 m²		 N 25.443274°
E 25.982666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572166442871094 y=0.426872253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572166442871094 × 216)
    floor (0.572166442871094 × 65536)
    floor (37497.5)     		tx = 37497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426872253417969 × 216)
    floor (0.426872253417969 × 65536)
    floor (27975.5)     		ty = 27975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37497 / 27975 ti = "16/37497/27975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37497/27975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37497 ÷ 216
    37497 ÷ 65536     		x = 0.572158813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27975 ÷ 216
    27975 ÷ 65536     		y = 0.426864624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572158813476562 × 2 - 1) × π
    0.144317626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45338720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426864624023438 × 2 - 1) × π
    0.146270751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.459523119757858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45338720} λ = 0.45338720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459523119757858))-π/2
    2×atan(1.58331875150123)-π/2
    2×1.00747590728779-π/2
    2.01495181457557-1.57079632675     		φ = 0.44415549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45338720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.977173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44415549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.448235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37497 KachelY 27975 0.45338720 0.44415549 25.977173 25.448235
    Oben rechts KachelX + 1 37498 KachelY 27975 0.45348307 0.44415549 25.982666 25.448235
    Unten links KachelX 37497 KachelY + 1 27976 0.45338720 0.44406891 25.977173 25.443274
    Unten rechts KachelX + 1 37498 KachelY + 1 27976 0.45348307 0.44406891 25.982666 25.443274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44415549-0.44406891) × R
    8.65800000000028e-05 × 6371000     		dl = 551.601180000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44415549-0.44406891) × R
    8.65800000000028e-05 × 6371000     		dr = 551.601180000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45338720-0.45348307) × cos(0.44415549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902973869467761 × 6371000     		do = 551.525396100473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45338720-0.45348307) × cos(0.44406891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903011069116525 × 6371000     		du = 551.548117190986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44415549)-sin(0.44406891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902973869467761-0.903011069116525)×R²
    abs(0.45348307-0.45338720)×3.71996487641413e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71996487641413e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71996487641413e-05×40589641000000     		ar = 304228.325969377m²