Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37496 / 27767
↖ ↑ ↗
← N 26.475490°
E 25.971680°		 ← 546.79 m → N 26.475490°
E 25.977173°		 →
↑
546.82 m
↓
↑
546.82 m
↓
N 26.470573°
E 25.971680°		 ← 546.81 m →
299 003 m²		 N 26.470573°
E 25.977173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572151184082031 y=0.423698425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572151184082031 × 216)
    floor (0.572151184082031 × 65536)
    floor (37496.5)     		tx = 37496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423698425292969 × 216)
    floor (0.423698425292969 × 65536)
    floor (27767.5)     		ty = 27767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37496 / 27767 ti = "16/37496/27767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37496/27767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37496 ÷ 216
    37496 ÷ 65536     		x = 0.5721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27767 ÷ 216
    27767 ÷ 65536     		y = 0.423690795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5721435546875 × 2 - 1) × π
    0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423690795898438 × 2 - 1) × π
    0.152618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.479464869999802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45329132} λ = 0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479464869999802))-π/2
    2×atan(1.61520982364932)-π/2
    2×1.01644040089791-π/2
    2.03288080179581-1.57079632675     		φ = 0.46208448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46208448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.475490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37496 KachelY 27767 0.45329132 0.46208448 25.971680 26.475490
    Oben rechts KachelX + 1 37497 KachelY 27767 0.45338720 0.46208448 25.977173 26.475490
    Unten links KachelX 37496 KachelY + 1 27768 0.45329132 0.46199865 25.971680 26.470573
    Unten rechts KachelX + 1 37497 KachelY + 1 27768 0.45338720 0.46199865 25.977173 26.470573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46208448-0.46199865) × R
    8.5830000000009e-05 × 6371000     		dl = 546.822930000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46208448-0.46199865) × R
    8.5830000000009e-05 × 6371000     		dr = 546.822930000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45329132-0.45338720) × cos(0.46208448) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.895125150546845 × 6371000     		do = 546.788522996721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45329132-0.45338720) × cos(0.46199865) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.895163411546397 × 6371000     		du = 546.811894784924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46208448)-sin(0.46199865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895125150546845-0.895163411546397)×R²
    abs(0.45338720-0.45329132)×3.82609995518424e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.82609995518424e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.82609995518424e-05×40589641000000     		ar = 299002.892533971m²