Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37495 / 27799
↖ ↑ ↗
← N 26.318037°
E 25.966187°		 ← 547.48 m → N 26.318037°
E 25.971680°		 →
↑
547.52 m
↓
↑
547.52 m
↓
N 26.313113°
E 25.966187°		 ← 547.50 m →
299 763 m²		 N 26.313113°
E 25.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572135925292969 y=0.424186706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572135925292969 × 216)
    floor (0.572135925292969 × 65536)
    floor (37495.5)     		tx = 37495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424186706542969 × 216)
    floor (0.424186706542969 × 65536)
    floor (27799.5)     		ty = 27799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37495 / 27799 ti = "16/37495/27799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37495/27799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37495 ÷ 216
    37495 ÷ 65536     		x = 0.572128295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27799 ÷ 216
    27799 ÷ 65536     		y = 0.424179077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572128295898438 × 2 - 1) × π
    0.144256591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45319545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424179077148438 × 2 - 1) × π
    0.151641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.476396908424118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45319545} λ = 0.45319545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476396908424118))-π/2
    2×atan(1.61026201569693)-π/2
    2×1.01506635838414-π/2
    2.03013271676827-1.57079632675     		φ = 0.45933639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45319545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.966187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45933639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.318037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37495 KachelY 27799 0.45319545 0.45933639 25.966187 26.318037
    Oben rechts KachelX + 1 37496 KachelY 27799 0.45329132 0.45933639 25.971680 26.318037
    Unten links KachelX 37495 KachelY + 1 27800 0.45319545 0.45925045 25.966187 26.313113
    Unten rechts KachelX + 1 37496 KachelY + 1 27800 0.45329132 0.45925045 25.971680 26.313113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45933639-0.45925045) × R
    8.59400000000066e-05 × 6371000     		dl = 547.523740000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45933639-0.45925045) × R
    8.59400000000066e-05 × 6371000     		dr = 547.523740000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45319545-0.45329132) × cos(0.45933639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896346908606165 × 6371000     		do = 547.477729453942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45319545-0.45329132) × cos(0.45925045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896385007085516 × 6371000     		du = 547.500999539185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45933639)-sin(0.45925045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896346908606165-0.896385007085516)×R²
    abs(0.45329132-0.45319545)×3.80984793508787e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80984793508787e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80984793508787e-05×40589641000000     		ar = 299763.4246439m²