Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37494 / 27798
↖ ↑ ↗
← N 26.322960°
E 25.960694°		 ← 547.45 m → N 26.322960°
E 25.966187°		 →
↑
547.46 m
↓
↑
547.46 m
↓
N 26.318037°
E 25.960694°		 ← 547.48 m →
299 716 m²		 N 26.318037°
E 25.966187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572120666503906 y=0.424171447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572120666503906 × 216)
    floor (0.572120666503906 × 65536)
    floor (37494.5)     		tx = 37494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424171447753906 × 216)
    floor (0.424171447753906 × 65536)
    floor (27798.5)     		ty = 27798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37494 / 27798 ti = "16/37494/27798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37494/27798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37494 ÷ 216
    37494 ÷ 65536     		x = 0.572113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27798 ÷ 216
    27798 ÷ 65536     		y = 0.424163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572113037109375 × 2 - 1) × π
    0.14422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45309958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424163818359375 × 2 - 1) × π
    0.15167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.476492782223358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45309958} λ = 0.45309958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476492782223358))-π/2
    2×atan(1.61041640503497)-π/2
    2×1.01510932556268-π/2
    2.03021865112536-1.57079632675     		φ = 0.45942232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45309958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.960694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45942232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.322960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37494 KachelY 27798 0.45309958 0.45942232 25.960694 26.322960
    Oben rechts KachelX + 1 37495 KachelY 27798 0.45319545 0.45942232 25.966187 26.322960
    Unten links KachelX 37494 KachelY + 1 27799 0.45309958 0.45933639 25.960694 26.318037
    Unten rechts KachelX + 1 37495 KachelY + 1 27799 0.45319545 0.45933639 25.966187 26.318037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45942232-0.45933639) × R
    8.59300000000118e-05 × 6371000     		dl = 547.460030000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45942232-0.45933639) × R
    8.59300000000118e-05 × 6371000     		dr = 547.460030000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45309958-0.45319545) × cos(0.45942232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896308807940984 × 6371000     		do = 547.45445803362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45309958-0.45319545) × cos(0.45933639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896346908606165 × 6371000     		du = 547.477729453942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45942232)-sin(0.45933639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896308807940984-0.896346908606165)×R²
    abs(0.45319545-0.45309958)×3.81006651813953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81006651813953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81006651813953e-05×40589641000000     		ar = 299715.804289555m²