Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37492 / 28324
↖ ↑ ↗
← N 23.704895°
E 25.949707°		 ← 559.25 m → N 23.704895°
E 25.955200°		 →
↑
559.31 m
↓
↑
559.31 m
↓
N 23.699865°
E 25.949707°		 ← 559.28 m →
312 803 m²		 N 23.699865°
E 25.955200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572090148925781 y=0.432197570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572090148925781 × 216)
    floor (0.572090148925781 × 65536)
    floor (37492.5)     		tx = 37492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432197570800781 × 216)
    floor (0.432197570800781 × 65536)
    floor (28324.5)     		ty = 28324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37492 / 28324 ti = "16/37492/28324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37492/28324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37492 ÷ 216
    37492 ÷ 65536     		x = 0.57208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28324 ÷ 216
    28324 ÷ 65536     		y = 0.43218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57208251953125 × 2 - 1) × π
    0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43218994140625 × 2 - 1) × π
    0.1356201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.426063163823059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45290783} λ = 0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.426063163823059))-π/2
    2×atan(1.53121748962937)-π/2
    2×0.992262392343609-π/2
    1.98452478468722-1.57079632675     		φ = 0.41372846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41372846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.704895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37492 KachelY 28324 0.45290783 0.41372846 25.949707 23.704895
    Oben rechts KachelX + 1 37493 KachelY 28324 0.45300370 0.41372846 25.955200 23.704895
    Unten links KachelX 37492 KachelY + 1 28325 0.45290783 0.41364067 25.949707 23.699865
    Unten rechts KachelX + 1 37493 KachelY + 1 28325 0.45300370 0.41364067 25.955200 23.699865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41372846-0.41364067) × R
    8.7790000000032e-05 × 6371000     		dl = 559.310090000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41372846-0.41364067) × R
    8.7790000000032e-05 × 6371000     		dr = 559.310090000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45290783-0.45300370) × cos(0.41372846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915628252694238 × 6371000     		do = 559.254538612098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45290783-0.45300370) × cos(0.41364067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915663543028124 × 6371000     		du = 559.276093516434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41372846)-sin(0.41364067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915628252694238-0.915663543028124)×R²
    abs(0.45300370-0.45290783)×3.52903338852739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52903338852739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52903338852739e-05×40589641000000     		ar = 312802.734462859m²