Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3749 / 3737
↖ ↑ ↗
← S 81.427045°
E149.501953°		 ← 1 456.85 m → S 81.427045°
E149.589844°		 →
↑
1 455.77 m
↓
↑
1 455.77 m
↓
S 81.440137°
E149.501953°		 ← 1 454.64 m →
2 119 230 m²		 S 81.440137°
E149.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9154052734375 y=0.9124755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9154052734375 × 212)
    floor (0.9154052734375 × 4096)
    floor (3749.5)     		tx = 3749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9124755859375 × 212)
    floor (0.9124755859375 × 4096)
    floor (3737.5)     		ty = 3737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3749 / 3737 ti = "12/3749/3737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3749/3737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3749 ÷ 212
    3749 ÷ 4096     		x = 0.915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3737 ÷ 212
    3737 ÷ 4096     		y = 0.912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    0.83056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60930132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.82470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59089355066479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60930132} λ = 2.60930132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59089355066479))-π/2
    2×atan(0.0749530358189474)-π/2
    2×0.0748131460620247-π/2
    0.149626292124049-1.57079632675     		φ = -1.42117003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60930132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42117003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.427045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3749 KachelY 3737 2.60930132 -1.42117003 149.501953 -81.427045
    Oben rechts KachelX + 1 3750 KachelY 3737 2.61083530 -1.42117003 149.589844 -81.427045
    Unten links KachelX 3749 KachelY + 1 3738 2.60930132 -1.42139853 149.501953 -81.440137
    Unten rechts KachelX + 1 3750 KachelY + 1 3738 2.61083530 -1.42139853 149.589844 -81.440137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42117003--1.42139853) × R
    0.000228499999999965 × 6371000     		dl = 1455.77349999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42117003--1.42139853) × R
    0.000228499999999965 × 6371000     		dr = 1455.77349999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60930132-2.61083530) × cos(-1.42117003) × R
    0.00153398000000005 × 0.149068615126439 × 6371000     		do = 1456.84557512991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60930132-2.61083530) × cos(-1.42139853) × R
    0.00153398000000005 × 0.14884266430057 × 6371000     		du = 1454.63736074096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42117003)-sin(-1.42139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149068615126439-0.14884266430057)×R²
    abs(2.61083530-2.60930132)×0.000225950825868265×R²
    0.00153398000000005×0.000225950825868265×6371000²
    0.00153398000000005×0.000225950825868265×40589641000000     		ar = 2119229.86109734m²