Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37488 / 27729
↖ ↑ ↗
← N 26.662187°
E 25.927734°		 ← 545.90 m → N 26.662187°
E 25.933228°		 →
↑
545.87 m
↓
↑
545.87 m
↓
N 26.657278°
E 25.927734°		 ← 545.92 m →
297 994 m²		 N 26.657278°
E 25.933228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572029113769531 y=0.423118591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572029113769531 × 216)
    floor (0.572029113769531 × 65536)
    floor (37488.5)     		tx = 37488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423118591308594 × 216)
    floor (0.423118591308594 × 65536)
    floor (27729.5)     		ty = 27729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37488 / 27729 ti = "16/37488/27729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37488/27729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37488 ÷ 216
    37488 ÷ 65536     		x = 0.572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27729 ÷ 216
    27729 ÷ 65536     		y = 0.423110961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572021484375 × 2 - 1) × π
    0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423110961914062 × 2 - 1) × π
    0.153778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.483108074370926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45252433} λ = 0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483108074370926))-π/2
    2×atan(1.6211050954585)-π/2
    2×1.01806963648967-π/2
    2.03613927297933-1.57079632675     		φ = 0.46534295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46534295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.662187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37488 KachelY 27729 0.45252433 0.46534295 25.927734 26.662187
    Oben rechts KachelX + 1 37489 KachelY 27729 0.45262021 0.46534295 25.933228 26.662187
    Unten links KachelX 37488 KachelY + 1 27730 0.45252433 0.46525727 25.927734 26.657278
    Unten rechts KachelX + 1 37489 KachelY + 1 27730 0.45262021 0.46525727 25.933228 26.657278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46534295-0.46525727) × R
    8.56799999999769e-05 × 6371000     		dl = 545.867279999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46534295-0.46525727) × R
    8.56799999999769e-05 × 6371000     		dr = 545.867279999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45252433-0.45262021) × cos(0.46534295) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.893667726446701 × 6371000     		do = 545.898253328477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45252433-0.45262021) × cos(0.46525727) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.8937061702938 × 6371000     		du = 545.921736809374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46534295)-sin(0.46525727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893667726446701-0.8937061702938)×R²
    abs(0.45262021-0.45252433)×3.84438470991677e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.84438470991677e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.84438470991677e-05×40589641000000     		ar = 297994.404315348m²