Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37487 / 27759
↖ ↑ ↗
← N 26.514820°
E 25.922241°		 ← 546.54 m → N 26.514820°
E 25.927734°		 →
↑
546.57 m
↓
↑
546.57 m
↓
N 26.509905°
E 25.922241°		 ← 546.57 m →
298 730 m²		 N 26.509905°
E 25.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572013854980469 y=0.423576354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572013854980469 × 216)
    floor (0.572013854980469 × 65536)
    floor (37487.5)     		tx = 37487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423576354980469 × 216)
    floor (0.423576354980469 × 65536)
    floor (27759.5)     		ty = 27759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37487 / 27759 ti = "16/37487/27759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37487/27759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37487 ÷ 216
    37487 ÷ 65536     		x = 0.572006225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27759 ÷ 216
    27759 ÷ 65536     		y = 0.423568725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572006225585938 × 2 - 1) × π
    0.144012451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45242846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423568725585938 × 2 - 1) × π
    0.152862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.480231860393723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45242846} λ = 0.45242846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480231860393723))-π/2
    2×atan(1.6164491492829)-π/2
    2×1.0167836183852-π/2
    2.0335672367704-1.57079632675     		φ = 0.46277091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45242846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.922241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46277091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.514820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37487 KachelY 27759 0.45242846 0.46277091 25.922241 26.514820
    Oben rechts KachelX + 1 37488 KachelY 27759 0.45252433 0.46277091 25.927734 26.514820
    Unten links KachelX 37487 KachelY + 1 27760 0.45242846 0.46268512 25.922241 26.509905
    Unten rechts KachelX + 1 37488 KachelY + 1 27760 0.45252433 0.46268512 25.927734 26.509905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46277091-0.46268512) × R
    8.57899999999745e-05 × 6371000     		dl = 546.568089999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46277091-0.46268512) × R
    8.57899999999745e-05 × 6371000     		dr = 546.568089999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45242846-0.45252433) × cos(0.46277091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894818918933157 × 6371000     		do = 546.544452048982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45242846-0.45252433) × cos(0.46268512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894857214808168 × 6371000     		du = 546.56784270108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46277091)-sin(0.46268512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894818918933157-0.894857214808168)×R²
    abs(0.45252433-0.45242846)×3.82958750112516e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82958750112516e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82958750112516e-05×40589641000000     		ar = 298730.149731623m²