Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37485 / 28333
↖ ↑ ↗
← N 23.659619°
E 25.911255°		 ← 559.45 m → N 23.659619°
E 25.916748°		 →
↑
559.50 m
↓
↑
559.50 m
↓
N 23.654588°
E 25.911255°		 ← 559.47 m →
313 018 m²		 N 23.654588°
E 25.916748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571983337402344 y=0.432334899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571983337402344 × 216)
    floor (0.571983337402344 × 65536)
    floor (37485.5)     		tx = 37485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432334899902344 × 216)
    floor (0.432334899902344 × 65536)
    floor (28333.5)     		ty = 28333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37485 / 28333 ti = "16/37485/28333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37485/28333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37485 ÷ 216
    37485 ÷ 65536     		x = 0.571975708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28333 ÷ 216
    28333 ÷ 65536     		y = 0.432327270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571975708007812 × 2 - 1) × π
    0.143951416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45223671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432327270507812 × 2 - 1) × π
    0.135345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.425200299629898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45223671} λ = 0.45223671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425200299629898))-π/2
    2×atan(1.52989682674392)-π/2
    2×0.991867292442704-π/2
    1.98373458488541-1.57079632675     		φ = 0.41293826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45223671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.911255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41293826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.659619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37485 KachelY 28333 0.45223671 0.41293826 25.911255 23.659619
    Oben rechts KachelX + 1 37486 KachelY 28333 0.45233258 0.41293826 25.916748 23.659619
    Unten links KachelX 37485 KachelY + 1 28334 0.45223671 0.41285044 25.911255 23.654588
    Unten rechts KachelX + 1 37486 KachelY + 1 28334 0.45233258 0.41285044 25.916748 23.654588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41293826-0.41285044) × R
    8.78200000000162e-05 × 6371000     		dl = 559.501220000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41293826-0.41285044) × R
    8.78200000000162e-05 × 6371000     		dr = 559.501220000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45223671-0.45233258) × cos(0.41293826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915945647738132 × 6371000     		do = 559.448399623167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45223671-0.45233258) × cos(0.41285044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915980886577789 × 6371000     		du = 559.469923075459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41293826)-sin(0.41285044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915945647738132-0.915980886577789)×R²
    abs(0.45233258-0.45223671)×3.52388396573922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52388396573922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52388396573922e-05×40589641000000     		ar = 313018.083516255m²