Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37484 / 28334
↖ ↑ ↗
← N 23.654588°
E 25.905762°		 ← 559.47 m → N 23.654588°
E 25.911255°		 →
↑
559.50 m
↓
↑
559.50 m
↓
N 23.649556°
E 25.905762°		 ← 559.49 m →
313 030 m²		 N 23.649556°
E 25.911255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571968078613281 y=0.432350158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571968078613281 × 216)
    floor (0.571968078613281 × 65536)
    floor (37484.5)     		tx = 37484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432350158691406 × 216)
    floor (0.432350158691406 × 65536)
    floor (28334.5)     		ty = 28334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37484 / 28334 ti = "16/37484/28334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37484/28334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37484 ÷ 216
    37484 ÷ 65536     		x = 0.57196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28334 ÷ 216
    28334 ÷ 65536     		y = 0.432342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57196044921875 × 2 - 1) × π
    0.1439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45214084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432342529296875 × 2 - 1) × π
    0.13531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.425104425830658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45214084} λ = 0.45214084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425104425830658))-π/2
    2×atan(1.52975015675371)-π/2
    2×0.991823384003481-π/2
    1.98364676800696-1.57079632675     		φ = 0.41285044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45214084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.905762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41285044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.654588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37484 KachelY 28334 0.45214084 0.41285044 25.905762 23.654588
    Oben rechts KachelX + 1 37485 KachelY 28334 0.45223671 0.41285044 25.911255 23.654588
    Unten links KachelX 37484 KachelY + 1 28335 0.45214084 0.41276262 25.905762 23.649556
    Unten rechts KachelX + 1 37485 KachelY + 1 28335 0.45223671 0.41276262 25.911255 23.649556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41285044-0.41276262) × R
    8.78199999999607e-05 × 6371000     		dl = 559.50121999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41285044-0.41276262) × R
    8.78199999999607e-05 × 6371000     		dr = 559.50121999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45214084-0.45223671) × cos(0.41285044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915980886577789 × 6371000     		do = 559.469923075459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45214084-0.45223671) × cos(0.41276262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916016118353079 × 6371000     		du = 559.491442212921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41285044)-sin(0.41276262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915980886577789-0.916016118353079)×R²
    abs(0.45223671-0.45214084)×3.52317752899678e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52317752899678e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52317752899678e-05×40589641000000     		ar = 313030.12470702m²