Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37480 / 27993
↖ ↑ ↗
← N 25.358918°
E 25.883789°		 ← 551.99 m → N 25.358918°
E 25.889282°		 →
↑
551.92 m
↓
↑
551.92 m
↓
N 25.353955°
E 25.883789°		 ← 552.01 m →
304 661 m²		 N 25.353955°
E 25.889282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571907043457031 y=0.427146911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571907043457031 × 216)
    floor (0.571907043457031 × 65536)
    floor (37480.5)     		tx = 37480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427146911621094 × 216)
    floor (0.427146911621094 × 65536)
    floor (27993.5)     		ty = 27993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37480 / 27993 ti = "16/37480/27993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37480/27993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37480 ÷ 216
    37480 ÷ 65536     		x = 0.5718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27993 ÷ 216
    27993 ÷ 65536     		y = 0.427139282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5718994140625 × 2 - 1) × π
    0.143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45175734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427139282226562 × 2 - 1) × π
    0.145721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.457797391371536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45175734} λ = 0.45175734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457797391371536))-π/2
    2×atan(1.58058872970275)-π/2
    2×1.0066964748296-π/2
    2.0133929496592-1.57079632675     		φ = 0.44259662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45175734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44259662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.358918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37480 KachelY 27993 0.45175734 0.44259662 25.883789 25.358918
    Oben rechts KachelX + 1 37481 KachelY 27993 0.45185322 0.44259662 25.889282 25.358918
    Unten links KachelX 37480 KachelY + 1 27994 0.45175734 0.44250999 25.883789 25.353955
    Unten rechts KachelX + 1 37481 KachelY + 1 27994 0.45185322 0.44250999 25.889282 25.353955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44259662-0.44250999) × R
    8.66299999999764e-05 × 6371000     		dl = 551.91972999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44259662-0.44250999) × R
    8.66299999999764e-05 × 6371000     		dr = 551.91972999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45175734-0.45185322) × cos(0.44259662) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.903642611415924 × 6371000     		do = 551.99142657444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45175734-0.45185322) × cos(0.44250999) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.903679710555839 × 6371000     		du = 552.014088638963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44259662)-sin(0.44250999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903642611415924-0.903679710555839)×R²
    abs(0.45185322-0.45175734)×3.70991399147869e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70991399147869e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70991399147869e-05×40589641000000     		ar = 304661.213127963m²