Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37480 / 27650
↖ ↑ ↗
← N 27.049342°
E 25.883789°		 ← 544.03 m → N 27.049342°
E 25.889282°		 →
↑
544.02 m
↓
↑
544.02 m
↓
N 27.044449°
E 25.883789°		 ← 544.06 m →
295 971 m²		 N 27.044449°
E 25.889282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571907043457031 y=0.421913146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571907043457031 × 216)
    floor (0.571907043457031 × 65536)
    floor (37480.5)     		tx = 37480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421913146972656 × 216)
    floor (0.421913146972656 × 65536)
    floor (27650.5)     		ty = 27650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37480 / 27650 ti = "16/37480/27650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37480/27650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37480 ÷ 216
    37480 ÷ 65536     		x = 0.5718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27650 ÷ 216
    27650 ÷ 65536     		y = 0.421905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5718994140625 × 2 - 1) × π
    0.143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45175734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421905517578125 × 2 - 1) × π
    0.15618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.490682104510895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45175734} λ = 0.45175734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490682104510895))-π/2
    2×atan(1.63343001002965)-π/2
    2×1.02144819927294-π/2
    2.04289639854588-1.57079632675     		φ = 0.47210007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45175734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47210007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.049342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37480 KachelY 27650 0.45175734 0.47210007 25.883789 27.049342
    Oben rechts KachelX + 1 37481 KachelY 27650 0.45185322 0.47210007 25.889282 27.049342
    Unten links KachelX 37480 KachelY + 1 27651 0.45175734 0.47201468 25.883789 27.044449
    Unten rechts KachelX + 1 37481 KachelY + 1 27651 0.45185322 0.47201468 25.889282 27.044449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47210007-0.47201468) × R
    8.5389999999963e-05 × 6371000     		dl = 544.019689999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47210007-0.47201468) × R
    8.5389999999963e-05 × 6371000     		dr = 544.019689999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45175734-0.45185322) × cos(0.47210007) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.890615229954677 × 6371000     		do = 544.033631328313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45175734-0.45185322) × cos(0.47201468) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.890654058462667 × 6371000     		du = 544.057349779885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47210007)-sin(0.47201468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890615229954677-0.890654058462667)×R²
    abs(0.45185322-0.45175734)×3.88285079904183e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.88285079904183e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.88285079904183e-05×40589641000000     		ar = 295971.459296779m²