Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3748 / 3738
↖ ↑ ↗
← S 81.440137°
E149.414063°		 ← 1 454.64 m → S 81.440137°
E149.501953°		 →
↑
1 453.54 m
↓
↑
1 453.54 m
↓
S 81.453209°
E149.414063°		 ← 1 452.43 m →
2 112 776 m²		 S 81.453209°
E149.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9151611328125 y=0.9127197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9151611328125 × 212)
    floor (0.9151611328125 × 4096)
    floor (3748.5)     		tx = 3748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9127197265625 × 212)
    floor (0.9127197265625 × 4096)
    floor (3738.5)     		ty = 3738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3748 / 3738 ti = "12/3748/3738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3748/3738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3748 ÷ 212
    3748 ÷ 4096     		x = 0.9150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3738 ÷ 212
    3738 ÷ 4096     		y = 0.91259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    0.830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60776734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91259765625 × 2 - 1) × π
    -0.8251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60776734} λ = 2.60776734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59242753145264))-π/2
    2×atan(0.0748381474428201)-π/2
    2×0.0746988985403158-π/2
    0.149397797080632-1.57079632675     		φ = -1.42139853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60776734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42139853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.440137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3748 KachelY 3738 2.60776734 -1.42139853 149.414063 -81.440137
    Oben rechts KachelX + 1 3749 KachelY 3738 2.60930132 -1.42139853 149.501953 -81.440137
    Unten links KachelX 3748 KachelY + 1 3739 2.60776734 -1.42162668 149.414063 -81.453209
    Unten rechts KachelX + 1 3749 KachelY + 1 3739 2.60930132 -1.42162668 149.501953 -81.453209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42139853--1.42162668) × R
    0.000228149999999872 × 6371000     		dl = 1453.54364999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42139853--1.42162668) × R
    0.000228149999999872 × 6371000     		dr = 1453.54364999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60776734-2.60930132) × cos(-1.42139853) × R
    0.00153398000000005 × 0.14884266430057 × 6371000     		do = 1454.63736074096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60776734-2.60930132) × cos(-1.42162668) × R
    0.00153398000000005 × 0.148617051816489 × 6371000     		du = 1452.43245296176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42139853)-sin(-1.42162668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14884266430057-0.148617051816489)×R²
    abs(2.60930132-2.60776734)×0.000225612484081178×R²
    0.00153398000000005×0.000225612484081178×6371000²
    0.00153398000000005×0.000225612484081178×40589641000000     		ar = 2112776.44306603m²