Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3748 / 3730
↖ ↑ ↗
← S 81.334844°
E149.414063°		 ← 1 472.39 m → S 81.334844°
E149.501953°		 →
↑
1 471.26 m
↓
↑
1 471.26 m
↓
S 81.348076°
E149.414063°		 ← 1 470.16 m →
2 164 627 m²		 S 81.348076°
E149.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9151611328125 y=0.9107666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9151611328125 × 212)
    floor (0.9151611328125 × 4096)
    floor (3748.5)     		tx = 3748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9107666015625 × 212)
    floor (0.9107666015625 × 4096)
    floor (3730.5)     		ty = 3730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3748 / 3730 ti = "12/3748/3730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3748/3730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3748 ÷ 212
    3748 ÷ 4096     		x = 0.9150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3730 ÷ 212
    3730 ÷ 4096     		y = 0.91064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    0.830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60776734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91064453125 × 2 - 1) × π
    -0.8212890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5801556851499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60776734} λ = 2.60776734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5801556851499))-π/2
    2×atan(0.0757622080539229)-π/2
    2×0.0756177490975573-π/2
    0.151235498195115-1.57079632675     		φ = -1.41956083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60776734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41956083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.334844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3748 KachelY 3730 2.60776734 -1.41956083 149.414063 -81.334844
    Oben rechts KachelX + 1 3749 KachelY 3730 2.60930132 -1.41956083 149.501953 -81.334844
    Unten links KachelX 3748 KachelY + 1 3731 2.60776734 -1.41979176 149.414063 -81.348076
    Unten rechts KachelX + 1 3749 KachelY + 1 3731 2.60930132 -1.41979176 149.501953 -81.348076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41956083--1.41979176) × R
    0.000230930000000074 × 6371000     		dl = 1471.25503000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41956083--1.41979176) × R
    0.000230930000000074 × 6371000     		dr = 1471.25503000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60776734-2.60930132) × cos(-1.41956083) × R
    0.00153398000000005 × 0.150659641605406 × 6371000     		do = 1472.39465555728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60776734-2.60930132) × cos(-1.41979176) × R
    0.00153398000000005 × 0.150431343496113 × 6371000     		du = 1470.16350119893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41956083)-sin(-1.41979176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150659641605406-0.150431343496113)×R²
    abs(2.60930132-2.60776734)×0.000228298109292702×R²
    0.00153398000000005×0.000228298109292702×6371000²
    0.00153398000000005×0.000228298109292702×40589641000000     		ar = 2164626.75421497m²